Robuste Optimierung 1 - Exam

Aufgabe 1)

Robuste Optimierung: Robuste Optimierung befasst sich mit der Lösung von Optimierungsproblemen unter Unsicherheit in den Parametern, wobei das Ziel darin besteht, Lösungen zu finden, die gegenüber diesen Unsicherheiten robust sind. Ziel der robusten Optimierung ist es, Optimierungslösungen zu finden, die gegenüber Unsicherheiten abgesichert sind und somit worst-case Szenarien vermeiden. Ein typisches Modell der robusten Optimierung betrachtet die Entscheidungsvariable x und einen Unsicherheitsparameter u, der innerhalb einer bekannten Menge (Unsicherheitsmenge) schwanken kann. Das Optimierungsproblem lässt sich dann formulieren als: \[ min_{x} \ max_{u \in U} \ f(x, \ u)\ \]. Eine alternative Methode zur robusten Optimierung ist die stochastische Optimierung, die ebenfalls Unsicherheiten in den Parametern modelliert.

a)

Betrachten wir eine Produktionsfirma, die ein bestimmtes Produkt herstellen möchte. Die Produktionskosten sind unsicher und hängen von der Parameter u ab, der Rohstoffpreise und Arbeitskosten umfasst. Die Unsicherheitsmenge U ist gegeben als U = \{u = (u_1, u_2) : 20 \leq u_1 \leq 50, 15 \leq u_2 \leq 30\}. Die Produktionsfirma möchte ihre Kosten minimieren, unabhängig davon, wie sich die Parameter innerhalb dieser Unsicherheitsmenge ändern.

• Formuliere das robuste Optimierungsproblem für diese Produktionsfirma in mathematischer Notation.

Lösung:

Robuste Optimierung: Robuste Optimierung befasst sich mit der Lösung von Optimierungsproblemen unter Unsicherheit in den Parametern, wobei das Ziel darin besteht, Lösungen zu finden, die gegenüber diesen Unsicherheiten robust sind. Ziel der robusten Optimierung ist es, Optimierungslösungen zu finden, die gegenüber Unsicherheiten abgesichert sind und somit worst-case Szenarien vermeiden. Ein typisches Modell der robusten Optimierung betrachtet die Entscheidungsvariable x und einen Unsicherheitsparameter u, der innerhalb einer bekannten Menge (Unsicherheitsmenge) schwanken kann. Das Optimierungsproblem lässt sich dann formulieren als: \[ \min_{x} \ \max_{u \in U} \ f(x, \ u) \ \]. Eine alternative Methode zur robusten Optimierung ist die stochastische Optimierung, die ebenfalls Unsicherheiten in den Parametern modelliert. Teilaufgabe:

• Formuliere das robuste Optimierungsproblem für diese Produktionsfirma in mathematischer Notation.

Betrachten wir eine Produktionsfirma, die ein bestimmtes Produkt herstellen möchte. Die Produktionskosten sind unsicher und hängen von der Parameter u ab, der Rohstoffpreise und Arbeitskosten umfasst. Die Unsicherheitsmenge U ist gegeben als U = \{u = (u_1, u_2) : 20 \leq u_1 \leq 50, 15 \leq u_2 \leq 30\}. Die Produktionsfirma möchte ihre Kosten minimieren, unabhängig davon, wie sich die Parameter innerhalb dieser Unsicherheitsmenge ändern.

• Mathematische Formulierung des robusten Optimierungsproblems:

Sei f(x, u) die Kostenfunktion, die von der Entscheidungsvariablen x und den Unsicherheitsparametern u = (u_1, u_2) abhängt. Das robuste Optimierungsproblem kann dann wie folgt formuliert werden: \[ \min_{x} \ \max_{20 \leq u_1 \leq 50 \atop 15 \leq u_2 \leq 30} \ f(x, \ (u_1, \ u_2)) \ \] Dieser Ansatz stellt sicher, dass die Produktionskosten minimiert werden, unabhängig davon, welche Werte die Rohstoffpreise und Arbeitskosten innerhalb der gegebenen Grenzen annehmen.

b)

Angenommen, dass die Gesamtkostenfunktion der Produktionsfirma durch f(x, u) = 3x_1 + 4x_2 + 2u_1x_1 + u_2x_2 gegeben ist.

• Bestimme die Ausdrücke für das Worst-Case-Szenario. Das heißt, identifiziere die Werte von u_1 und u_2, welche die Kosten maximieren, wenn beispielsweise x = (100, 200) gegeben ist.

Lösung:

Robuste Optimierung: Robuste Optimierung befasst sich mit der Lösung von Optimierungsproblemen unter Unsicherheit in den Parametern, wobei das Ziel darin besteht, Lösungen zu finden, die gegenüber diesen Unsicherheiten robust sind. Ziel der robusten Optimierung ist es, Optimierungslösungen zu finden, die gegenüber Unsicherheiten abgesichert sind und somit worst-case Szenarien vermeiden. Ein typisches Modell der robusten Optimierung betrachtet die Entscheidungsvariable x und einen Unsicherheitsparameter u, der innerhalb einer bekannten Menge (Unsicherheitsmenge) schwanken kann. Das Optimierungsproblem lässt sich dann formulieren als: \[ \min_{x} \ \max_{u \in U} \ f(x, \ u) \ \]. Eine alternative Methode zur robusten Optimierung ist die stochastische Optimierung, die ebenfalls Unsicherheiten in den Parametern modelliert. Teilaufgabe:

• Bestimme die Ausdrücke für das Worst-Case-Szenario. Das heißt, identifiziere die Werte von u_1 und u_2, welche die Kosten maximieren, wenn beispielsweise x = (100, 200) gegeben ist.

Angenommen, dass die Gesamtkostenfunktion der Produktionsfirma durch f(x, u) = 3x_1 + 4x_2 + 2u_1x_1 + u_2x_2 gegeben ist, und x = (100, 200) ist.

• Bestimmung des Worst-Case-Szenarios:

Die Kostenfunktion in Abhängigkeit von u und bei x = (100, 200) lautet:\[f((100, 200), (u_1, u_2)) = 3 \cdot 100 + 4 \cdot 200 + 2u_1 \cdot 100 + u_2 \cdot 200\] Das vereinfacht sich zu:\[f((100, 200), (u_1, u_2)) = 300 + 800 + 200u_1 + 200u_2\]\[f((100, 200), (u_1, u_2)) = 1100 + 200u_1 + 200u_2\] Um die Kosten zu maximieren, müssen wir die Maximierung der linearen Terme in der Funktion betrachten, nämlich:\[200u_1 + 200u_2\] Um diesen Ausdruck zu maximieren, wählen wir die maximalen Werte für u_1 und u_2 innerhalb der gegebenen Unsicherheitsmenge U, die definiert ist als U = \{u = (u_1, u_2) : 20 \leq u_1 \leq 50, 15 \leq u_2 \leq 30\}. Daher sind die Werte, die u_1 und u_2 maximieren, u_1 = 50 und u_2 = 30. Die Worst-Case Werte sind:

• u_1 = 50
• u_2 = 30

c)

Nehmen wir nun an, dass die Firma zusätzlich eine Mindestproduktionsanforderung von 100 Einheiten hat. Die Produktion von Einheiten x_1 und x_2 muss mindestens 100 Einheiten betragen.

• Modifiziere die Optimierungsfunktion aus dem vorherigen Teil, um diese Einschränkung zu berücksichtigen.

Lösung:

Robuste Optimierung: Robuste Optimierung befasst sich mit der Lösung von Optimierungsproblemen unter Unsicherheit in den Parametern, wobei das Ziel darin besteht, Lösungen zu finden, die gegenüber diesen Unsicherheiten robust sind. Ziel der robusten Optimierung ist es, Optimierungslösungen zu finden, die gegenüber Unsicherheiten abgesichert sind und somit worst-case Szenarien vermeiden. Ein typisches Modell der robusten Optimierung betrachtet die Entscheidungsvariable x und einen Unsicherheitsparameter u, der innerhalb einer bekannten Menge (Unsicherheitsmenge) schwanken kann. Das Optimierungsproblem lässt sich dann formulieren als: \[ \min_{x} \ \max_{u \in U} \ f(x, \ u) \ \]. Eine alternative Methode zur robusten Optimierung ist die stochastische Optimierung, die ebenfalls Unsicherheiten in den Parametern modelliert. Teilaufgabe:

• Modifiziere die Optimierungsfunktion aus dem vorherigen Teil, um diese Einschränkung zu berücksichtigen.

Angenommen, dass die Firma zusätzlich eine Mindestproduktionsanforderung von 100 Einheiten hat. Die Produktion von Einheiten x_1 und x_2 muss mindestens 100 Einheiten betragen. Wir gehen davon aus, dass die Gesamtkostenfunktion der Produktionsfirma durch f(x, u) = 3x_1 + 4x_2 + 2u_1x_1 + u_2x_2 gegeben ist. Die modifizierte Optimierungsfunktion unter Berücksichtigung der Mindestproduktionsanforderung lautet:

• Mathematische Formulierung des robusten Optimierungsproblems mit der zusätzlichen Einschränkung:

Wir suchen: \[ \min_{x} \ \max_{20 \leq u_1 \leq 50 \atop 15 \leq u_2 \leq 30} \ \left( 3x_1 + 4x_2 + 2u_1x_1 + u_2x_2 \right) \ \] unter der Nebenbedingung: \[ x_1 + x_2 \geq 100 \ \] Diese Nebenbedingung stellt sicher, dass die minimale Gesamtproduktion von 100 Einheiten erreicht wird. Das gesamte robuste Optimierungsproblem mit der zusätzlichen Mindestproduktionsanforderung lautet dann: \[ \min_{x_1, x_2} \ \max_{20 \leq u_1 \leq 50 \atop 15 \leq u_2 \leq 30} \ \left( 3x_1 + 4x_2 + 2u_1x_1 + u_2x_2 \right) \ \] unter der Nebenbedingung: \[ x_1 + x_2 \geq 100 \ \].

d)

Vergleiche die robuste Optimierung mit der stochastischen Optimierung.

• Diskutiere mindestens zwei Vorteile und zwei Nachteile der robusten Optimierung im Vergleich zur stochastischen Optimierung im Kontext des gegebenen Beispiels der Produktionsfirma.

Lösung:

Robuste Optimierung: Robuste Optimierung befasst sich mit der Lösung von Optimierungsproblemen unter Unsicherheit in den Parametern, wobei das Ziel darin besteht, Lösungen zu finden, die gegenüber diesen Unsicherheiten robust sind. Ziel der robusten Optimierung ist es, Optimierungslösungen zu finden, die gegenüber Unsicherheiten abgesichert sind und somit worst-case Szenarien vermeiden. Ein typisches Modell der robusten Optimierung betrachtet die Entscheidungsvariable x und einen Unsicherheitsparameter u, der innerhalb einer bekannten Menge (Unsicherheitsmenge) schwanken kann. Das Optimierungsproblem lässt sich dann formulieren als: \[ \min_{x} \ \max_{u \in U} \ f(x, \ u) \ \]. Eine alternative Methode zur robusten Optimierung ist die stochastische Optimierung, die ebenfalls Unsicherheiten in den Parametern modelliert. Teilaufgabe:

• Diskutiere mindestens zwei Vorteile und zwei Nachteile der robusten Optimierung im Vergleich zur stochastischen Optimierung im Kontext des gegebenen Beispiels der Produktionsfirma.

Vorteile der robusten Optimierung:

• Worst-Case-Szenarien absichern: Ein wesentlicher Vorteil der robusten Optimierung ist, dass Lösungen so gewählt werden, dass sie auch unter den schlechtesten möglichen Bedingungen innerhalb der Unsicherheitsmenge gut sind. Das bedeutet, die Produktionsfirma kann Kosten abschätzen und sicherstellen, dass sie in keinem Fall exorbitant hohe Kosten trägt.
• Geringerer Datenbedarf: Robuste Optimierung erfordert keine Wahrscheinlichkeitsverteilungen der unsicheren Parameter, sondern lediglich deren Schwankungsbereiche (Unsicherheitsmenge). Dies ist nützlich in Szenarien, in denen statistische Informationen über die Unsicherheitsparameter schwer zu bekommen sind.

Nachteile der robusten Optimierung:

• Konservativität der Lösungen: Ein Nachteil der robusten Optimierung ist, dass sie oft zu konservativen Lösungen führt. Durch die Berücksichtigung aller möglichen Werte innerhalb der Unsicherheitsmenge kann die Lösung suboptimal sein, wenn die unsicheren Parameter nicht extrem ausfallen.
• Komplexität bei großen Unsicherheitsmengen: Je größer die Unsicherheitsmenge und die Anzahl der unsicheren Parameter, desto schwieriger und rechenintensiver kann die robuste Optimierung werden. Dies kann zu längeren Berechnungszeiten und höherem Rechenaufwand führen.

Vorteile der stochastischen Optimierung:

• Effiziente Nutzung statistischer Informationen: Stochastische Optimierung nutzt Wahrscheinlichkeitsverteilungen der unsicheren Parameter und kann dadurch potenziell realistischere und effizientere Lösungen berechnen als konservative worst-case Betrachtungen.
• Potential für durchschnittlich bessere Lösungen: Da stochastische Optimierung auf Daten basiert und Wahrscheinlichkeiten berücksichtigt, tendieren die resultierenden Lösungen dazu, im Durchschnitt besser zu sein als die sehr konservativen Lösungen der robusten Optimierung.

Nachteile der stochastischen Optimierung:

• Abhängigkeit von genauen Wahrscheinlichkeiten: Einer der größten Nachteile ist die Notwendigkeit genauer Wahrscheinlichkeiten und statistischer Daten über die Parameterunsicherheiten. In vielen realen Szenarien sind solche Daten schwer zu erlangen oder unzuverlässig.
• Komplexität bei Modellierung und Berechnung: Die Modellierung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Berechnung der stochastischen Optimierungslösungen können sehr komplex und rechenintensiv sein, insbesondere bei großen oder komplexen Systemen.

Aufgabe 2)

Im Rahmen der robusten Optimierung soll eine Modellierungsfrage betrachtet werden. Du hast ein Produktionsunternehmen, das aufgrund von Marktbedingungen und Lieferkettenunstetigkeiten mit Unsicherheiten konfrontiert ist. Es stehen zwei Ansätze zur Verfügung: klassische Optimierung und robuste Optimierung, wobei letztere die Unsicherheiten in den Marktbedingungen berücksichtigt. Das Unternehmen möchte seine Produktionskosten minimieren, während es gleichzeitig sicherstellt, dass es in verschiedenen Szenarien gut gerüstet ist.

a)

Formuliere das Optimierungsproblem für das Unternehmen unter der Prämisse der klassischen Optimierung. Gehe hierbei von festen Marktbedingungen aus. Definiere die notwendigen Variablen und stelle die Zielfunktion sowie alle relevanten Nebenbedingungen auf.

Lösung:

Um das Optimierungsproblem für das Unternehmen unter der Prämisse der klassischen Optimierung zu formulieren, gehen wir von festen Marktbedingungen aus, bei denen alle Parameter bekannt und konstant sind. Das Ziel ist es, die Produktionskosten zu minimieren. Hier sind die notwendigen Schritte und die Formulierung des Problems:

• 1. Definition der Variablen:
  • Produktionsmenge: Lasse x_1, x_2, ..., x_n die Menge der hergestellten Produkte 1, 2, ..., n sein.
  • Produktionskosten: Lasse c_1, c_2, ..., c_n die Kosten pro Einheit der Produkte 1, 2, ..., n sein.
  • Maximale Produktionskapazität: Lasse K_j die maximale Produktionskapazität der Maschine j sein.
  • Ressourcenbedarf: Lasse a_{ij} die Menge der Ressource i, die für die Produktion einer Einheit des Produkts j benötigt wird.
  • Verfügbare Ressourcen: Lasse b_i die Verfügbarkeit der Ressource i sein.
• 2. Zielfunktion:

  Das Ziel ist es, die gesamten Produktionskosten zu minimieren. Daher lautet die Zielfunktion:

  \[min \, Z = c_1 x_1 + c_2 x_2 + ... + c_n x_n \]

• 3. Nebenbedingungen:
  • Produktionskapazitätsbeschränkung: Jede Maschine hat eine maximale Produktionskapazität:

  \[\sum_{j=1}^{n} x_j \leq K_j \;\;\;\; \text{(für jede Maschine j)} \]

  • Ressourcenbeschränkung: Die Summe der für die Produktion verwendeten Ressourcen darf die verfügbaren Ressourcen nicht überschreiten:

  \[\sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_j \leq b_i \;\;\;\; \text{(für jede Ressource i)} \]

  • Nichtnegativitätsbedingungen: Die Produktionsmengen müssen nicht-negativ sein:

  \[ x_j \geq 0\;\;\;\; \text{für alle j} \]

Zusammenfassend lautet das Optimierungsproblem unter der Prämisse der klassischen Optimierung wie folgt:

\[ \min \, Z = c_1 x_1 + c_2 x_2 + ... + c_n x_n \]

• unter den Bedingungen:

  \[\sum_{j=1}^{n} x_j \leq K_j \;\;\;\; \text{für jede Maschine j} \]

  \[\sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_j \leq b_i \;\;\;\; \text{für jede Ressource i} \]

  \[x_j \geq 0 \;\;\;\; \text{für alle j} \]

Dieses Modell hilft dem Unternehmen, die Produktionskosten zu minimieren, indem es feste Marktbedingungen berücksichtigt und sicherstellt, dass alle Nebenbedingungen eingehalten werden.

b)

Nun, ändere das Optimierungsproblem, damit es den Prinzipien der robusten Optimierung entspricht. Definiere die Unsicherheitsmenge \( \mathcal{U} \) für die Marktbedingungen und stelle das robuste Optimierungsproblem unter Berücksichtigung dieser Unsicherheitsmenge dar. Erläutere anschließend, wie und warum sich die Lösung dieses Problems von der in der klassischen Optimierung unterscheidet.

Lösung:

Um das Optimierungsproblem gemäß den Prinzipien der robusten Optimierung zu formulieren, müssen wir die Unsicherheitsmenge definieren und sicherstellen, dass die Lösung unter allen möglichen Szenarien in dieser Menge robust bleibt. Die Idee ist, dass die Produktionskosten minimiert werden sollen, während die Unsicherheiten in den Marktbedingungen berücksichtigt werden.

• 1. Definition der Unsicherheitsmenge:
  • Unsicherung in Produktionskosten: Wir nehmen an, dass die Produktionskosten variieren können. Lasse die Kosten pro Einheit des Produkts j im Bereich [c_j - \text{Δ}c_j, c_j + \text{Δ}c_j] liegen, wobei \text{Δ}c_j die Unsicherheit in den Kosten für Produkt j darstellt.
  • Die Unsicherheitsmenge \( \mathcal{U} \) ist somit definiert als:

  \[ \mathcal{U} = \{ \mathbf{c} : c_j \in [c_j - \text{Δ}c_j, c_j + \text{Δ}c_j] \text{ für alle j}\} \]

• 2. Zielfunktion:

  Im robusten Fall möchten wir den schlimmstmöglichen Wert der Zielfunktion minimieren. Daher lautet die robuste Zielfunktion:

  \[ \min_{\mathbf{x}} \max_{\mathbf{c} \in \mathcal{U}} \, Z = c_1 x_1 + c_2 x_2 + ... + c_n x_n \]

• 3. Nebenbedingungen:
  • Produktionskapazitätsbeschränkung: Wie in der klassischen Optimierung:

  \[\sum_{j=1}^{n} x_j \leq K_j \;\;\;\; \text{(für jede Maschine j)} \]

  • Ressourcenbeschränkung: Wie in der klassischen Optimierung:

  \[\sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_j \leq b_i \;\;\;\; \text{(für jede Ressource i)} \]

  • Nichtnegativitätsbedingungen: Wie in der klassischen Optimierung:

  \[ x_j \geq 0\;\;\;\; \text{für alle j} \]

Das robuste Optimierungsproblem lässt sich somit wie folgt zusammenfassen:

\[ \min_{\mathbf{x}} \max_{\mathbf{c} \in \mathcal{U}} \, Z = c_1 x_1 + c_2 x_2 + ... + c_n x_n \]

• unter den Bedingungen:

  \[\sum_{j=1}^{n} x_j \leq K_j \;\;\;\; \text{für jede Maschine j} \]

  \[\sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_j \leq b_i \;\;\;\; \text{für jede Ressource i} \]

  \[x_j \geq 0 \;\;\;\; \text{für alle j} \]

Unterschied zur klassischen Optimierung: In der klassischen Optimierung wird angenommen, dass alle Parameter bekannt und fest sind. Die Lösung des klassischen Optimierungsproblems minimiert die Produktionskosten unter diesen festen Bedingungen. Bei der robusten Optimierung hingegen wird die Unsicherheit in den Marktbedingungen berücksichtigt. Die robuste Optimierung zielt darauf ab, eine Lösung zu finden, die in allen möglichen Szenarien innerhalb der Unsicherheitsmenge \(\mathcal{U} \) anwendbar ist. Dies führt in der Regel zu vorsichtigeren Entscheidungen und möglicherweise höheren Kosten, da die Lösung gegen das schlimmste Szenario abgesichert werden muss.

Zusammengefasst bietet die robuste Optimierung eine größere Sicherheit in unsicheren Umgebungen, führt jedoch oft zu konservativeren und möglicherweise teureren Lösungen im Vergleich zur klassischen Optimierung, die auf festen Parameterwerten basiert.

Aufgabe 3)

Modellierung von Unsicherheiten: Stochastische vs. robuste ModelleEin Unternehmen möchte seine Produktionskosten minimieren, steht jedoch vor Unsicherheiten im Zusammenhang mit den tatsächlichen Anforderungen und den Lieferzeiten. Dies kann entweder durch stochastische Modelle, bei denen die Unsicherheiten durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen modelliert werden, oder durch robuste Modelle, bei denen die Unsicherheiten als verschiedene Szenarios betrachtet werden, geschehen. Das Unternehmen muss eine Entscheidung treffen, welche Methode es anwenden soll.

a)

Formuliere ein stochastisches Optimierungsmodell für das Unternehmen, bei dem die Unsicherheiten in den Anforderungen durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen geschätzt werden. Gehe dabei davon aus, dass die Anforderungen \(\xi\) einer Normalverteilung mit einem Mittelwert von \(\mu\) und einer Standardabweichung von \(\sigma\) folgen. Verwende die Funktion \(f(x,\xi)\) zur Darstellung der Kosten und formuliere das Optimierungsproblem.

Lösung:

Stochastisches Optimierungsmodell:

• Definiere die Unsicherheiten in den Anforderungen:
• Sei \( \xi \) eine Zufallsvariable, die den Anforderungen entspricht.
• \( \xi \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) \), wobei \( \mu \) der Mittelwert und \( \sigma \) die Standardabweichung ist.
• Formuliere die Funktion zur Darstellung der Kosten:
• Sei \( f(x, \xi) \) die Kostenfunktion, wobei \( x \) die Entscheidungen des Unternehmens (z.B. Produktionsmengen) repräsentiert.
• Zielfunktion:
• Das Ziel des Unternehmens ist es, die erwarteten Kosten zu minimieren:

\[ \text{Minimiere} \ \mathbb{E}[ f(x, \xi) ] \]

Formuliere das stochastische Optimierungsproblem:

\[ \begin{aligned} & \text{Minimiere} \ \mathbb{E}[ f(x, \xi) ] \ & \text{Unterliegt den Beschränkungen:} \ & x \geq 0 \end{aligned} \]

Zusammenfassung:

• Das Unternehmen minimiert die erwarteten Produktionskosten unter Berücksichtigung der Unsicherheiten in den Anforderungen, die durch eine Normalverteilung modelliert werden.

b)

Formuliere ein robustes Optimierungsmodell für das gleiche Problem, bei dem die Anforderungen innerhalb eines Unsicherheitsbereichs \(\xi \in \Xi \) liegen. \(\Xi\) sei durch ein Intervall \([\xi_{min}, \xi_{max}]\) definiert. Erkläre, warum dieses Modell zu konservativeren Lösungen führen kann und formuliere das entsprechende Optimierungsproblem.

Lösung:

Robustes Optimierungsmodell:

• Definiere die Unsicherheiten in den Anforderungen:
• Sei \( \xi \) eine Variable der Anforderungen, die innerhalb eines gegebenen Intervalls \( \Xi \) liegt.
• Das Intervall wird definiert als \( \Xi = [\xi_{min}, \xi_{max}] \).
• Formuliere die Funktion zur Darstellung der Kosten:
• Sei \( f(x, \xi) \) die Kostenfunktion, wobei \( x \) die Entscheidungen des Unternehmens (z.B. Produktionsmengen) repräsentiert.
• Zielfunktion:
• Das Ziel des Unternehmens ist es, die Kosten für das schlimmste Szenario innerhalb des Unsicherheitsbereichs zu minimieren:

\[ \text{Minimiere} \ \max_{\xi \in \Xi} f(x, \xi) \]

Formuliere das robuste Optimierungsproblem:

\[ \begin{aligned} & \text{Minimiere} \ \max_{\xi \in [\xi_{min}, \xi_{max}]} f(x, \xi) \ & \text{Unterliegt den Beschr\u00e4nkungen:} \ & x \geq 0 \end{aligned} \]

Erklärung, warum dieses Modell zu konservativeren Lösungen führen kann:

• Da das Unternehmen versucht, die Kosten für das schlimmste Szenario innerhalb des definierten Unsicherheitsbereichs zu minimieren, berücksichtigt es extreme Werte und plant entsprechend. Dies führt zu einer eher vorsichtigen Herangehensweise, um zusätzliche Sicherheitsmargen zu gewährleisten.
• Die konservative Planung kann höhere Kosten im Vorfeld beinhalten, um gegen alle möglichen Unsicherheiten gewappnet zu sein, selbst wenn die extremen Szenarios möglicherweise nicht eintreten.

c)

Vergleiche die beiden Modelle in Bezug auf Rechenaufwand und Lösungseigenschaften. Diskutiere, in welchen praktischen Anwendungsfällen das stochastische Modell bevorzugt wird und in welchen das robuste Modell vorzuziehen ist.

Lösung:

Vergleich der Modelle: Stochastisch vs. Robuste Modelle

• Rechenaufwand:
• Stochastisches Modell:
• Der Rechenaufwand ist in der Regel höher, da Wahrscheinlichkeitsverteilungen in die Modellierung einfließen müssen. Es erfordert oft Monte-Carlo-Simulationen oder andere numerische Methoden, um die Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu handhaben.
• Die Berechnung der Erwartungswerte kann komplex und zeitaufwendig sein, insbesondere für nicht-lineare oder hochdimensionale Probleme.
• Zusätzliche Rechenressourcen können notwendig sein, um die Unsicherheiten entlang der Verteilung umfassend zu modellieren.
• Robustes Modell:
• Die Berechnungen sind oft einfacher, da der Unsicherheitsbereich durch Intervalle oder Szenarien definiert wird.
• Es wird das schlimmste denkbare Szenario innerhalb der definierten Unsicherheitsgrenzen betrachtet, was die Modellierung vereinfacht.
• Der Rechenaufwand kann allerdings steigen, wenn viele Szenarien oder Intervalle durchgerechnet werden müssen.
• Lösungseigenschaften:
• Stochastisches Modell:
• Die Lösungen tendieren dazu, weniger konservativ zu sein, da sie die Unsicherheiten durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen abbilden und zu erwartungsbasierten Entscheidungen führen.
• Es wird eine gewisse Risikotoleranz berücksichtigt, abhängig von der Form der Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
• Robustes Modell:
• Die Lösungen sind konservativer, da sie worst-case Ansätze berücksichtigen. Das Ziel ist es, gegen alle möglichen Unsicherheiten im definierten Bereich gewappnet zu sein.
• Das führt zu Lösungen, die auch in extremen Szenarien Bestand haben, was eine höhere Sicherheit bietet, jedoch oft zu höheren Planungskosten führen kann.
• Praktische Anwendungsfälle:
• Stochastisches Modell:
• Wird bevorzugt in Situationen, in denen die Unsicherheiten gut durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschrieben werden können, wie z.B. Nachfrageprognosen im Einzelhandel oder in der Finanzmodellierung.
• Geeignet, wenn historische Daten vorhanden sind, um die Wahrscheinlichkeitsverteilungen akkurat zu modellieren.
• Ideal in Szenarien mit hoher Risikotoleranz oder wenn der durchschnittliche erwartetet Erfolg maximiert werden soll.
• Robustes Modell:
• Wird bevorzugt in Situationen mit hoher Unsicherheit oder fehlenden Daten, bei denen extreme Szenarios schwerwiegende Auswirkungen haben können, wie z.B. in der Lieferkettenplanung oder bei der Notfallplanung.
• Geeignet für Probleme, bei denen Sicherheit und Risikovermeidung höchste Priorität haben, z.B. bei sicherheitskritischen Systemen.
• Ideal in Bereichen, bei denen Unsicherheiten nicht vernachlässigt werden können und extreme Fälle realistische Bedrohungen darstellen.