Praktikum: Numerische Methoden der Halbleiterbauelemente - Cheatsheet
Grundlagen der numerischen Mathematik
Definition:
Numerische Mathematik beschäftigt sich mit der Entwicklung und Analyse von Algorithmen zur Lösung mathematischer Probleme mittels numerischer Approximation.
Details:
- Typische Probleme: Lineare Gleichungssysteme, Eigenwertprobleme, Interpolation, Integration, Differenziation
- Fehleranalyse: Absoluter und relativer Fehler, numerische Stabilität
- Wichtige Konzepte: Konvergenz, Konsistenz, Effizienz
- Verwendung von Gleitkommazahlen: Rundungsfehler, Maschinengenauigkeit
Fehleranalyse und Stabilität numerischer Methoden
Definition:
Analyse der Genauigkeit und Stabilität numerischer Verfahren, um sicherzustellen, dass kleine Fehler nicht zu großen Abweichungen in den Ergebnissen führen.
Details:
- Fehlerarten: Rundungsfehler, Diskretisierungsfehler, Trunkierungsfehler
- Bedingungszahl: Bewertung der Sensitivität der Lösung gegenüber Störungen im Eingang
- Stabilitätsanalyse: Untersucht, ob Fehler wachsen oder abklingen
- Fehlerschranken: Begrenzen den maximalen Fehler
Lösungsmethoden für nichtlineare Gleichungssysteme
Definition:
Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen, bei denen die Gleichungen nichtlinear sind; oft iterative Verfahren.
Details:
- Newton-Verfahren: Iterative Methode, benötigt die Ableitungen der Gleichungen
- Fixpunktiteration: Benötigt gute Startwerte, konvergiert nicht immer
- Quasi-Newton Methoden: Vermeiden die explizite Berechnung der Jacobimatrix
- Homotopiemethoden: Verfolgen Lösungsweg von einfacher zu komplizierter Gleichung
- Einsetzen von Startwerten und Anpassung dieser bis zur Konvergenz
- Konvergenzkriterium: Bestimmtes Fehlertoleranzniveau
- Mathematisch: oder System von Gleichungen
Numerische Lösung partieller Differentialgleichungen (PDEs)
Definition:
Numerische Methoden zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen, um physikalische Phänomene wie Wärmeleitung, Wellenbewegung und elektrische Felder in Halbleitersimulationen zu modellieren.
Details:
- Diskretisierung: Zerlegung der PDEs in ein diskretes Gitter (Finite-Differenzen-Methode, Finite-Elemente-Methode)
- Finite-Differenzen-Methode (FDM): Ersetzt Ableitungen durch Näherungen mithilfe von Differenzenquotienten
- Finite-Elemente-Methode (FEM): Zerlegt den Lösungsraum in kleinere, einfach handhabbare Stücke (Elemente)
- Finite-Volumen-Methode (FVM): Erhaltungsgesetze direkt auf physikalischen Volumina angewendet
- Stabilität und Konvergenz: Beachtung der numerischen Stabilität und Konvergenz der gewählten Methode
- Randbedingungen: Implementierung geeigneter Randbedingungen für die Lösung von PDEs
- Lösung: Verwendung von iterativen oder direkten Lösungsverfahren für die resultierenden Gleichungssysteme
Simulation von MOSFETs
Definition:
Simulation von MOSFETs zur Analyse & Optimierung von Halbleiterbauelementen, Verständnis für elektrische Parameter, Funktionalitäten prüfen
Details:
- Kenntnis von Grundgleichungen: Poisson-Gleichung, Kontinuitätsgleichung für Elektronen & Löcher
- Drift-Diffusions-Modell: Stromtransport in MOSFETs beschreiben
- FEM (Finites-Elemente-Verfahren) zur Lösung der Differentialgleichungen
- Typische Software: Sentaurus, TCAD
- DC-Analysen, AC-Analysen, Transientenanalysen
- Physikalische Modelle: Mobilität, Lebensdauer der Ladungsträger, Rekombination
- Parameterauswahl & Vernetzung entscheidend für Genauigkeit
Verständnis und Anwendung von Halbleitergleichungen
Definition:
Verständnis und Anwendung von Halbleitergleichungen bedeutet, die grundlegenden mathematischen und physikalischen Modelle zu kennen, die das Verhalten von Halbleitern beschreiben, und diese Modelle in numerische Methoden zu implementieren.
Details:
- Grundgleichungen: Poisson-Gleichung, Drift-Diffusions-Gleichungen
- Poisson-Gleichung beschreibt das elektrostatische Potenzial innerhalb eines Halbleiters:
-
- Grundgleichung: Poisson-Gleichung beschreibt das elektrostatéostatische Potential innerhalb eines Halbleiters:
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Einführung und Anwendung von TCAD (Technology Computer-Aided Design)
Definition:
Einführung und Nutzung von TCAD-Tools zur Simulation und Analyse von Halbleiterbauelementen.
Details:
- TCAD-Tools: Ermöglichen die Simulation von physikalischem Verhalten von Halbleiterbauelementen.
- Verwendung: Entwurf, Optimierung und Fehleranalyse von Halbleiterstrukturen.
- Simulationen: Elektrische, thermische und optische Eigenschaften.
- Beispiele: Synopsys Sentaurus, Silvaco Atlas.
- Mathematische Modelle: Erfassung von Drift-Diffusions-Gleichungen, Poisson-Gleichung.
Diskretisierungsmethoden in der Halbleiterphysik
Definition:
Methode zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen, die physikalische Prozesse in Halbleitern beschreiben.
Details:
- Einführung von Gitterpunkten zur Erfassung kontinuierlicher Variablen
- Typische Verfahren: Finite-Differenzen-Methode (FDM), Finite-Elemente-Methode (FEM), Finite-Volumen-Methode (FVM)
- FDM: Approximiert Ableitungen durch Differenzenquotienten
- FEM: Nutzt Testfunktionen und schwache Formulierung zur Lösung
- FVM: Erhaltungseigenschaften durch Integration über Kontrollvolumen
- Schritte: Diskretisierung des Raumbereichs, Approximieren der Diff.-Gl. und Lösen des resultierenden Gleichungssystems
- Beispiel für FDM: