Advanced Mechanized Reasoning in Coq - Cheatsheet

Gallina: Grundlagen und Syntax

Definition:

Gallina ist die eingebaute funktionale Programmiersprache von Coq zur formalen Spezifikation und Verifikation mathematischer Theorien und Software. Sie verwendet eine stark typisierte, funktionale Syntax.

Details:

• Funktionen werden mit Schlüsselwort fun definiert: fun x : T => e
• Lokale Definitionen mit let: let x := e1 in e2
• Induktive Definitionen: Inductive t : Type := c1 | c2 | ...
• Beweise werden interaktiv mittels Taktiken aufgebaut.
• Typenüberprüfung und Inferenz sind automtisiert.
• Pattern-Matching wird verwendet für Fallunterscheidungen: match e with | c1 => e1 | ... end
• Das Universum von Typen: Type, Prop, Set

Coq's Taktiksprache und interaktive Beweisführung

Definition:

Taktiksprache in Coq nutzt spezifische Befehle zur schrittweisen Entwicklung formaler Beweise; interaktive Beweisführung erlaubt dabei die schrittweise Verifikation und Korrektur durch den Benutzer.

Details:

• Einfache Taktiken: intro, apply, assumption
• Komplexere Taktiken: case, induction, rewrite
• Automatisierung: auto, eauto, trivial
• Interaktives Vorgehen: Benutzer gibt inkrementell Taktiken ein, prüft Zwischenschritte und korrigiert bei Bedarf
• Ziel: Formale und verifizierbare Konstruktion mathematischer Beweise
• \textit{Proof scripts} zur Wiederholbarkeit und Nachvollziehbarkeit von Beweisen

Strategien zur Fehlerbehebung in Coq

Definition:

Strategien zur Fehlerbehebung in Coq: Ansätze zur Identifikation und Korrektur von Fehlern in Beweisen und Programmen in Coq.

Details:

• Typfehler: Angezeigte Typfehlermeldungen genau lesen und verstehen. Oft hilft die Verwendung von 'Check' und 'Print'.
• Taktiken: Verwendung von 'Abort' zur Rückkehr zum letzten konsistenten Zustand. 'Restart' hilft, den Beweis von einem Zwischenschritt aus neu zu beginnen.
• Interaktives Debugging: Schrittweise Anwendung von Taktiken mit 'Refine' und 'auto' um Probleme zu isolieren.
• Modularität: Beweis in modularen Teilen entwickeln und testen, um Fehlerquellen zu minimieren.
• Dokumentation: Nutzung der Coq-Dokumentation und Community-Ressourcen bei der Fehlersuche.

Korrektheitsbeweise für Algorithmen und Datenstrukturen

Definition:

Formalbeweise, die zeigen, dass Algorithmen und Datenstrukturen korrekt funktionieren. In Coq bedeutet das, dass die Implementierung den Spezifikationen entspricht.

Details:

• Korrektheitsbeweise bestehen aus partieller Korrektheit (\textit{partielle Korrektheit}) und Terminierung.
• \textit{partielle Korrektheit}: Der Algorithmus liefert das richtige Ergebnis, wenn er terminiert.
• Terminierung: Der Algorithmus endet nach einer endlichen Anzahl von Schritten.
• Coq verwendet induktive Beweise und rekursive Definitionen.
• Nutzer beweisen die Invarianz von Schleifen und rekursiven Aufrufen.
• Beispiel: Sortieralgorithmus (Insertion Sort) korrekt in Coq verifizieren.
• Datenstrukturen: z.B. Bäume, Listen werden auf ihre strukturelle Invarianz geprüft.

Definition und Verwendung induktiver Typen

Definition:

Induktive Typen sind Benutzerdefinierte Datentypen, die durch Angabe von Konstruktoren erstellt werden.

Details:

• Definiert mit Inductive Schlüsselwort
• Ermöglichen rekursive Datenstrukturen wie Listen und Bäume
• Konstruktoren spezifizieren mögliche Werte
• Beispiel: \texttt{Inductive nat : Type := | O : nat | S : nat -> nat.}
• Verwended in Mustermatching und rekursiven Funktionen

Integration und Nutzung automatisierter Theorembeweiser in Coq

Definition:

Integration und Nutzung automatisierter Theorembeweiser in Coq

Details:

• Automatische Theorembeweiser (ATPs) wie Alt-Ergo, E und Vampire können in Coq verwendet werden, um Beweise zu automatisieren.
• Benutze das Coq-Plug-in coq-auto, um ATPs zu integrieren.
• Unterschiedliche Taktiken wie smt und lia stehen zur Verfügung, um Standardbeweismethoden zu automatisieren.
• Integration verbessert die Effizienz und reduziert menschliche Fehler in der Beweiskonstruktion.
• Beispiel für SMT-Lib-Format zur Interaktion: (declare-fun f (Int Int) Int).

Verwendung von Coq's Induktionsprinzipien in Beweisen

Definition:

Verwendung des Induktionsprinzips von Coq zur formalen Verifikation und Beweisführung von Eigenschaften rekursiver Funktionen und Datentypen.

Details:

• Induktionsprinzip: Basis- und Induktionsannahme nutzen.
• Induktion über natürliche Zahlen: \texttt{induction n} für natürliche Zahl n.
• Induktion über Listen: \texttt{induction l} für Liste l.
• Induktionsannahme formalisiert in Coq's Taktik-System.
• Eigene Induktionsprinzipien für benutzerdefinierte Datentypen ableitbar.

Praxisnahe Anwendungen und Übungen in Coq

Definition:

Anwendung und Übungen zur Vertiefung der Konzepte und Techniken von Coq, oft in Form von formalen Beweisen und Implementierungsaufgaben

Details:

• Implementierung formaler Beweise
• Verwendung von Standardbibliotheken
• Praktische Beispiele aus der Informatik
• Einsatz von Tactics: intros, apply, rewrite, induction
• Projektarbeiten und Fallstudien
• Proof-Entwicklung und Optimierung