Analysis I an der Universität Ulm

Karteikarten und Zusammenfassungen für Analysis I an der Universität Ulm

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Was ist das Bild einer Funktion ?

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Was ist das Urbild ?

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Wie ist die Einschränkung (Restriktion) definiert?
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Was bedeutet das eine Funktion f: A–>B surjektiv ist?

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Was bedeutet Injektivität?

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Was bedeutet bijektiv? 

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Wie definieren wir die Umkehrfunktion und was ist die Voraussetzung?
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Was ist die Zusammensetzung (Komposition) zweier Funktionen?

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Was ist die Identität einer Funktion?

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Was ist eine Relation?

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Aus welchen Bestandteilen besteht eine Funktion (Abbildung) f: A–>B ?
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Was gilt bei einer Äquivalenzrelation? 

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Beispielhafte Karteikarten für Analysis I an der Universität Ulm auf StudySmarter:

Analysis I

Was ist das Bild einer Funktion ?
b ist das Bild von a (unter f) b=f(a) 

Analysis I

Was ist das Urbild ?
a ist das Urbild von b (unter f) b=f(a)
 

Analysis I

Wie ist die Einschränkung (Restriktion) definiert?
Die Einschränkung ist definiert als f | A1—>B, f| von f auf A1 , sodass (a)=f(a).
Funktionen werden meistens eingeschränkt um das Verhalten der Injektivität/Bijektivität/Surjektivität an bestimmten Stellen zu untersuchen und Abweichungen festzustellen. z.B. kann ein Graph an sich weder injektiv noch surjektiv sein, aber durch die Einschränkung dann surjektiv. 

Analysis I

Was bedeutet das eine Funktion f: A–>B surjektiv ist?
Jedes Element des Bildbereiches hat mindestens ein Urbild.  Es gilt : f(A)=B

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Was bedeutet Injektivität?
injektiv bedeutet das die Abbildung eineindeutig ist. jedem x-Wert wird höchstens ein Urbild zugeordnet.
a1,a2 E A mit a1 ≠ a2 => f(a1) ≠ f(a2)

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Was bedeutet bijektiv? 
Bijektiv bedeutet dass die Abbildung f:A–>B Injektiv und surjektiv ist.

Analysis I

Wie definieren wir die Umkehrfunktion und was ist die Voraussetzung?
Die Funktion f: A–>B muss bijektiv sein. Dann sei die Umkehrfunktion f^–1 :B –>A , indem wir jedem b E B dasjenige a E A Zuordnen , für das f(a) =b gilt.

am besten bestimmt man f^–1 indem man die Gleichung f(a)=b nach a auflöst 

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Was ist die Zusammensetzung (Komposition) zweier Funktionen?
Es sei g: A–>B , f:B–>C dann sei die Komposition f•g: A–>C und ist definiert durch : (f•g)(a)= f((g(a)) für a E A

eine Komposition kann nur existieren , wenn der Definitionsbereich von f mit dem Bildbereich von g übereinstimmt.

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Was ist die Identität einer Funktion?
Die Funktion id a : A–>A , id a (a)= a für alle a E A heißt die Identität auf A

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Was ist eine Relation?
Sei A eine nichtleere Menge. Eine Teilmenge ~ c A x A nennen wir eine Relation auf A.
Statt (x,y) E ~ mit x,y E A Schreiben wir kurz x~x

Analysis I

Aus welchen Bestandteilen besteht eine Funktion (Abbildung) f: A–>B ?
1. einer nichtleeren Menge A , dem Definitionsbereich von f.
2. einer nichtleeren Menge B, dem Bildbereich von f 
3. einer Zuordnungsvorschrift die jedem Element a E A genau einen Element b E B zuordnet 

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Was gilt bei einer Äquivalenzrelation? 
Eine Relation auf A (≠ leere Menge) heißt Äquivalenzrelation wenn gilt :
Reflexivität : x~x für alle x E A
Symmetrie: x,y E A x~y => y~x
Transitivität: x,y,z E A , x~y ,y~z ,x~z

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