Mathematik für Biologen I an der Universität Tübingen

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Geometrische Progression

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Funktionsgraph

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Geometrisches Mittel

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Funktionen

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Arithmetische Progression

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Allgemeines exponentielles Wachstum

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Mengen

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Konvergenz mit Monotonie und Beschränktheit

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Arithmetisches Mittel

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Mengen - leere Menge, Teilmenge, Vereinigung, Schnitt und Mengendifferenz

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Affine Abbildungen

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Mathematik für Biologen I

Geometrische Progression

Geometrische Progression: Proportionale Änderung um den Faktor r (einheitenlos). 

A(t) = r*A(t−1) und A(t) = r^tA(0)

Beispiel: Zins- und Zinseszins.

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Funktionsgraph

Der Funktionsgraph einer Funktion f : R → R ist die Teilmenge
{(x, y) ∈ R2: y = f(x)}.

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Geometrisches Mittel

Mittlerer Änderungsfaktor


r ist die t-te Wurzel aus r(t)*...*r(1)

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Funktionen

Eine Funktion f : D → Z hat eine Definitionsmenge D, eine Zielmenge Z und
ordnet jedem Element x ∈ D genau ein Element f(x) ∈ Z zu.

Mathematik für Biologen I

Arithmetische Progression

Arithmetische Progression: Absolute Änderung (Zu- oder Abnahme) um einen
festen Wert b (Einheit pro Zeit).

A(t) = A(t−1) + b und A(t) = A(0) + bt


Beispiel: Sparschwein, in das täglich 2e eingeworfen werden.

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Allgemeines exponentielles Wachstum

Allgemeines exponentielles Wachstum (geometrische Progression, zum Beispiel
bei Bakterien): At = rA(t−1) für ein r ≥ 0. Die Population wächst (oder schrumpft) um den Reproduktionsfaktor r.
Daraus folgt At = r^t*A0. Da allgemein At ∈ R ist, betrachten wir At als Näherung der
Populationsgröße.

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Mengen

Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten, welche
Elemente der Menge heißen.


Die Anzahl der Elemente von M ist die Größe (auch
Mächtigkeit) |M| der Menge M.

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Konvergenz mit Monotonie und Beschränktheit

Eine konvergente Folge in Rd ist beschränkt.

Eine beschränkte und monoton wachsende oder monoton fallende Folge in R ist
konvergent.

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Arithmetisches Mittel

Die mittlere absolute Änderung (Zu- oder Abnahme)


b = (1/t)*( b(1)+ · · · + b(t))

Mathematik für Biologen I

Mengen - leere Menge, Teilmenge, Vereinigung, Schnitt und Mengendifferenz

leere Menge ∅ = {} enthält keine Elemente

A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn aus x ∈ A stets x ∈ B folgt.
Notation: A ⊆ B

Vereinigung: A ∪ B = {x : x ∈ A oder x ∈ B}

Schnitt: A ∩ B = {x : x ∈ A und x ∈ B}

Mengendifferenz: A \ B = {x : x ∈ A und x /∈ B}

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Affine Abbildungen

Eine Abbildung f : Rm → Rn heißt affin, wenn

es eine n ×m Matrix A und einen Vektor b ∈ Rn mit

f(v ) = Av +b

für alle v ∈ Rm gibt.

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