Mathematik für Biologen I an der Universität Tübingen

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Mengen

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Mengen - leere Menge, Teilmenge, Vereinigung, Schnitt und Mengendifferenz

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Funktionen

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Funktionsgraph

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Allgemeines exponentielles Wachstum

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Geometrische Progression

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Arithmetische Progression

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Geometrisches Mittel

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Arithmetisches Mittel

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Lineare Rekursion zweiter Ordnung

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Logarithmische Skala

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Winkel

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Mathematik für Biologen I

Mengen

Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten, welche
Elemente der Menge heißen.


Die Anzahl der Elemente von M ist die Größe (auch
Mächtigkeit) |M| der Menge M.

Mathematik für Biologen I

Mengen - leere Menge, Teilmenge, Vereinigung, Schnitt und Mengendifferenz

leere Menge ∅ = {} enthält keine Elemente

A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn aus x ∈ A stets x ∈ B folgt.
Notation: A ⊆ B

Vereinigung: A ∪ B = {x : x ∈ A oder x ∈ B}

Schnitt: A ∩ B = {x : x ∈ A und x ∈ B}

Mengendifferenz: A \ B = {x : x ∈ A und x /∈ B}

Mathematik für Biologen I

Funktionen

Eine Funktion f : D → Z hat eine Definitionsmenge D, eine Zielmenge Z und
ordnet jedem Element x ∈ D genau ein Element f(x) ∈ Z zu.

Mathematik für Biologen I

Funktionsgraph

Der Funktionsgraph einer Funktion f : R → R ist die Teilmenge
{(x, y) ∈ R2: y = f(x)}.

Mathematik für Biologen I

Allgemeines exponentielles Wachstum

Allgemeines exponentielles Wachstum (geometrische Progression, zum Beispiel
bei Bakterien): At = rA(t−1) für ein r ≥ 0. Die Population wächst (oder schrumpft) um den Reproduktionsfaktor r.
Daraus folgt At = r^t*A0. Da allgemein At ∈ R ist, betrachten wir At als Näherung der
Populationsgröße.

Mathematik für Biologen I

Geometrische Progression

Geometrische Progression: Proportionale Änderung um den Faktor r (einheitenlos). 

A(t) = r*A(t−1) und A(t) = r^tA(0)

Beispiel: Zins- und Zinseszins.

Mathematik für Biologen I

Arithmetische Progression

Arithmetische Progression: Absolute Änderung (Zu- oder Abnahme) um einen
festen Wert b (Einheit pro Zeit).

A(t) = A(t−1) + b und A(t) = A(0) + bt


Beispiel: Sparschwein, in das täglich 2e eingeworfen werden.

Mathematik für Biologen I

Geometrisches Mittel

Mittlerer Änderungsfaktor


r ist die t-te Wurzel aus r(t)*...*r(1)

Mathematik für Biologen I

Arithmetisches Mittel

Die mittlere absolute Änderung (Zu- oder Abnahme)


b = (1/t)*( b(1)+ · · · + b(t))

Mathematik für Biologen I

Lineare Rekursion zweiter Ordnung

Es seien a, b ∈ R und die Folge X0, X1, X2, ... von reellen Zahlen erfülle die lineare Rekursion zweiter Ordnung (mit konstanten Koeffizienten)

Xt = aX(t−1) + bX(t−2) für alle t ≥ 2, 

so heißt      x^2 = ax + b

charakteristische Gleichung. Mit r1, r2 werden die Lösungen dieser quadratischen
Gleichung bezeichnet. (Aufteilung in 2 Fälle)

Mathematik für Biologen I

Logarithmische Skala

Wird bei einer Abbildung nicht die eigentliche Größe sondern der Logarithmus der Größe aufgetragen, so wird von einer logarithmischen Skala gesprochen.

Der Nutzen liegt darin, dass die Größe x für sehr unterschiedliche Größenordnungen
dargestellt wird. (Es gibt dann das Potenzgesetz und den exponentiellen Zusammenhang).

Mathematik für Biologen I

Winkel

Winkel werden im Gradmaß oder Bogenmaß gemessen: voller Winkel = 360° im Gradmaß = 2π im Bogenmaß

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