Mathematik für Biologen I an der Universität Tübingen

Karteikarten und Zusammenfassungen für Mathematik für Biologen I im Biologie Studiengang an der Universität Tübingen in Tübingen

CitySTADT: Tübingen

CountryLAND: Deutschland

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Länge von Vektoren

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Beschränktheit

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Lokale Extrema

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sec α

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Vektor

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Invertierbare Matrizen

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Lineare Rekursion zweiter Ordnung

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Lineares Gleichungssystem

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Geometrische Progression

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Halbwertszeit

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Ausgleichsgerade

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Höhere Ableitungen

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Mathematik für Biologen I

Länge von Vektoren

Die Länge oder Norm von v = (v1 · · · vn) ist

die Wurzel aus seinen einzelnen Werten v1, v2, .. vn.

Die Länge ist also der Abstand des Punktes mit diesen Koordinaten zum Ursprung.

Mathematik für Biologen I

Beschränktheit

Eine Funktion f : D → Rd mit D ⊆ Rs ist

beschränkt, wenn es eine Zahl K ∈ R gibt, so dass IIf(x)II ≤ K für alle x ∈ D gilt.

Gleiches gilt auch für Folgen.

Mathematik für Biologen I

Lokale Extrema

Es sei f : (a, b) → R eine Funktion. Ein x ∈ (a, b) heißt

  • lokales Maximum, wenn es ein ε > 0 mit f(x) ≥ f(a) für alle a ∈ (x − ε, x + ε)
    gibt,
  • lokales Minimum, wenn es ein ε > 0 mit f(x) ≤ f(a) für alle a ∈ (x − ε, x + ε)
    gibt.

Mathematik für Biologen I

sec α

(Hypotenuse/Ankathete)

=

1/cos α

Mathematik für Biologen I

Vektor

Ein Vektor ist eine gerichtete Größe, besteht also aus einer Richtung und einer
Länge.

Mathematik für Biologen I

Invertierbare Matrizen

Eine n × n Matrix A heißt invertierbar, wenn es eine n × n Matrix X mit

AX = XA = I

gibt. In diesem Fall ist X eindeutig, heißt inverse Matrix von A und wird mit A^(−1)
bezeichnet.

Mathematik für Biologen I

Lineare Rekursion zweiter Ordnung

Es seien a, b ∈ R und die Folge X0, X1, X2, … von reellen Zahlen erfülle die lineare Rekursion zweiter Ordnung (mit konstanten Koeffizienten)

Xt = aX(t−1) + bX(t−2) für alle t ≥ 2, 

so heißt      x^2 = ax + b

charakteristische Gleichung. Mit r1, r2 werden die Lösungen dieser quadratischen
Gleichung bezeichnet. (Aufteilung in 2 Fälle)

Mathematik für Biologen I

Lineares Gleichungssystem

Ein lineare Gleichungssystem hat die Form:                  Ax = b

wobei A eine bekannte m × n Matrix, b ein bekannter Vektor in Rm und x der Vektor mit den Unbekannten ist: 

x = (x1, … , xn)^T.

Mathematik für Biologen I

Geometrische Progression

Geometrische Progression: Proportionale Änderung um den Faktor r (einheitenlos). 

A(t) = r*A(t−1) und A(t) = r^tA(0)

Beispiel: Zins- und Zinseszins.

Mathematik für Biologen I

Halbwertszeit

Halbwertszeit ist jenes t1/2, welches
1/2 = e^(−λt1/2)

erfüllt.

Nachdem t1/2 Zeit vergangen ist, ist nur mehr die Hälfte der Materialmenge vorhanden.

Mathematik für Biologen I

Ausgleichsgerade

Es seien (x1, y1), … , (xn, yn) Punkte im R2, welche näherungsweise auf einer (unbekannten) Geraden liegen.

Wir suchen jene Gerade, welche am nächsten an diesen Punkten liegt.

Diese Gerade heißt Ausgleichsgerade oder Regressionsgerade.

Diese Gerade minimiert die Abweichung D von den Punkten zur Gerade.

Mathematik für Biologen I

Höhere Ableitungen

Ist eine Funktion f : (a, b) → R differenzierbar und ist auch die erste Ableitung f‘ : (a, b) → R differenzierbar, dann heißt f“ = (f‘)‘ : (a, b) → R die zweite Ableitung von R.

Ist f“ differenzierbar, so heißt f“‘ = (f“)‘ die dritte Ableitung von f und so weiter.

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