Numerische Methoden der Dynamik (NMD) an der Universität Stuttgart

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Wozu inverse Vektoriteration?

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Was muss gelten, damit die Iterationsvorschrift konvergiert?

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Was ist das Rayleigh Kriterium?

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Kriterien zur Beurteilung eines Algorithmus?

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Wann werden LGS angewendet?

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Ist die Anzahl der Iterationsschritte bestimmbar?

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Gib den allgemeinen Verstärkungsfaktor für den relativen Fehler an.

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Was ist die Kondition eines Algorithmus?

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Was ist Gleitpunktiteration?

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Unterschied einer Iteration zu einer Rekursion?
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Warum entstehen in der Numerik Fehler?

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Numerische Methoden der Dynamik (NMD)

Wozu inverse Vektoriteration?
Ohne Shifting erhält man den kleinsten EW mit zugehörigen EV. Durch Shifting kann man auch die anderen EW und EV berechnen (indem die Shiftingparameter etwa so groß wie die EW wählt)

Grundidee: Neue Matrix B =(A-sigmaE)^-1 hat gleiche EV wie Aund EW=1/(lambdai-sigma)

Numerische Methoden der Dynamik (NMD)

Was muss gelten, damit die Iterationsvorschrift konvergiert?
(x^(k+1)-x^k)/(x^k-x^(k-1))=phi(x^k)-phi(x^(k-1))/x^k-x^(k-1)=phi'(xi) 
Konvergenz für |phi'(xi)|<1

Numerische Methoden der Dynamik (NMD)

Was ist das Rayleigh Kriterium?

(Wikipedia) Heuristische Bedingung für den Abstand zweier Lichtquellen, um sie getrennt erkennen zu können. 

Numerische Methoden der Dynamik (NMD)

Kriterien zur Beurteilung eines Algorithmus?
- Effizienz: Rechenzeit und Speicherplatz
- Stabilität: FehIerfortpflanzung
- Kondition: Genauigkeit
- Zuverlässigkeit: Ausschluss von kritischen Fällen
- Versändlichkeit:Fehlerrückverfolgung (Debugging), Adaption an modifizierte Probleme, Beweisbarkeit

Numerische Methoden der Dynamik (NMD)

Wann werden LGS angewendet?

- Gleichgewichtsaufgaben in FEM
- Parameteridentifikation
- Stoßprobleme
- Elektrische Netzwerke
- Subprobleme vieler Algorithmen 

Numerische Methoden der Dynamik (NMD)

Ist die Anzahl der Iterationsschritte bestimmbar?
Nein, da ein iteratives Verfahren gegen einen Grenzwert konvergiert (falls einer existiert) und dieser ist dann die Lösung. 

Numerische Methoden der Dynamik (NMD)

Gib den allgemeinen Verstärkungsfaktor für den relativen Fehler an.

Konditionsszahl: epsilon_yi = SUMME(xj/fi * fi'/xj' * epsilonxj)

Numerische Methoden der Dynamik (NMD)

Gebe eine Iterationsvorschrift an!
Berechnung einer Quadratwurzel
Vorlesung Seite 7
Phi= 0,5 ( c/x+x)
X^(k+1)=phi(x^k)

Numerische Methoden der Dynamik (NMD)

Was ist die Kondition eines Algorithmus?
(Vorlesung) Algorithmus ist gut konditioniert, wenn die Rundungsfehler und deren Fortpflanzung in der größenordnung der unvermeidbaren Fehler des numerischen Problems liegen.
(Wikipedia) Abhängigkeit der Lösung eines Problems von der Störung der Eingangsdaten.
Konditionszahl stellt ein Maß für die Abhängigkeit da und beschreibt den Faktor, um den der Eingangsfehler im ungünstigsten Fall verstärkt wird. Unabhängig von konkretem Lösungsverfahren, abhängig von mathematischen Problem. 

Numerische Methoden der Dynamik (NMD)

Was ist Gleitpunktiteration?

Floating Point Operations per Second (flops)
Anzahl der ausführbaren Gleitkommazahloperationen (Additionen und Multiplikationen) pro Sekunde.
Maß für Leistungsfähigkeit eines Computers. 

Numerische Methoden der Dynamik (NMD)

Unterschied einer Iteration zu einer Rekursion?
Rekursion: Anzahl der Neuaufrufe vorher bekannt -> Näherungslösung
Iteration: wird ausgeführt, bis sich Ergebnis vom vorherigen Ergebnis um ein zuvor festgelegtes Verhältnis nicht mehr ändert. !Konvergenz! ->exakte Lösung

Numerische Methoden der Dynamik (NMD)

Warum entstehen in der Numerik Fehler?
-Eingangsfehler: Abbildung von Zahlen auf Maschinenzahlen, ungenaue Messungen, ungenaue Massen/Geometriedaten
-Rundungsfehler: in jedem Teilschritt eines Algorithmus entsteht durch Gleitpunktiteration ein zusätzlicher Fehler
-Abbruchfehler: Abbruch einer Iteration oder Approximationsreihe 

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