Mathe III an der Universität Potsdam | Karteikarten & Zusammenfassungen

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TESTE DEIN WISSEN

Was ist *allgemein* der Fehler einer Quadraturformel?

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Die Abweichung zwischen exaktem Wert (der gg. Fkt.) und Näherungswert (Integration der Ersatzfunktion).

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  1. Wie berechnet sich eine Stammfunktion F(x) allgemein?

  2. Wie berechnet sich das (geschlossene) Integral analytisch?

  3. Warum berechnet man nicht alle Integrale analytisch?
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  1. Die Stammfunktion F von f ist die Umkehroperation zur Ableitung. Dazu existieren diverse Regeln und Tabellen.

  2. I = F(b) −F(a)
    Das heißt die obere Stammfunktion (am rechten Intervallende) minus die untere Stammfunktion (am linken Intervallanfang)

  3. Weil die Berechnung von F
    1. Stammfunktion nicht als geschlossener Ausdruck existiert
    2. zu aufwendig ist
    3. I von einem Programm berechnet werden soll, welches nicht symbolisch rechnen kann
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Was folgt daraus, dass eine Quadraturformel die Ordnung p hat?

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  • Dass alle Polynome vom Grad (p-1) durch die QF exakt bestimmt werden.
    • Somit p mindestens = Zahl der Stützstellen
  • Dass für ein Polynom vom Grad p die QF das Integral des Polynoms nicht mehr exakt approximiert
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Wie berechnet man ein bestimmtes Integral?

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  • Stammfunktion bestimmen
  • Jeweils das x der oberen und unteren Stammfunktion einsetzen
  • Obere Stammfunktion minus untere Stammfunktion
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8 Stützstellen teilen ein Intervall in ... Teilintervalle

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7

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8 Teilintervalle lassen auf ... Stützstellen schließen.

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Wieviele Stützstellen benötigt man. wenn man ein Polynom 4.Grades approximieren möchte?

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3

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Mit 4 Stützstellen kann man ein Polynom wievielten Grades approximieren?

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3.

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Wie Lautet der Name der Integrationsregel von Newton-Cotes-Typ mit drei Stützstellen?

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Simpsonregel

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Was bezeichnet die Quadratur?

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TESTE DEIN WISSEN

Die Approximation der Fläche unter einer stetigen Funktion.

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Welche Funktionen können mit Hilfe der Quadratur integriert werden.

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TESTE DEIN WISSEN

Alle Riemann integrablen Funktionen.

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TESTE DEIN WISSEN

Wie lässt sich die Grundidee der Quadratur zusammen fassen?

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TESTE DEIN WISSEN

Aufteilung des Integrationsintervall in kurze Abschnitte und stückweise Approximation der Funktion auf diesen Intervallen durch Polynome.

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Q:

Was ist *allgemein* der Fehler einer Quadraturformel?

A:

Die Abweichung zwischen exaktem Wert (der gg. Fkt.) und Näherungswert (Integration der Ersatzfunktion).

Q:
  1. Wie berechnet sich eine Stammfunktion F(x) allgemein?

  2. Wie berechnet sich das (geschlossene) Integral analytisch?

  3. Warum berechnet man nicht alle Integrale analytisch?
A:
  1. Die Stammfunktion F von f ist die Umkehroperation zur Ableitung. Dazu existieren diverse Regeln und Tabellen.

  2. I = F(b) −F(a)
    Das heißt die obere Stammfunktion (am rechten Intervallende) minus die untere Stammfunktion (am linken Intervallanfang)

  3. Weil die Berechnung von F
    1. Stammfunktion nicht als geschlossener Ausdruck existiert
    2. zu aufwendig ist
    3. I von einem Programm berechnet werden soll, welches nicht symbolisch rechnen kann
Q:

Was folgt daraus, dass eine Quadraturformel die Ordnung p hat?

A:
  • Dass alle Polynome vom Grad (p-1) durch die QF exakt bestimmt werden.
    • Somit p mindestens = Zahl der Stützstellen
  • Dass für ein Polynom vom Grad p die QF das Integral des Polynoms nicht mehr exakt approximiert
Q:

Wie berechnet man ein bestimmtes Integral?

A:
  • Stammfunktion bestimmen
  • Jeweils das x der oberen und unteren Stammfunktion einsetzen
  • Obere Stammfunktion minus untere Stammfunktion
Q:

8 Stützstellen teilen ein Intervall in ... Teilintervalle

A:

7

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Q:

8 Teilintervalle lassen auf ... Stützstellen schließen.

A:

9

Q:

Wieviele Stützstellen benötigt man. wenn man ein Polynom 4.Grades approximieren möchte?

A:

3

Q:

Mit 4 Stützstellen kann man ein Polynom wievielten Grades approximieren?

A:

3.

Q:

Wie Lautet der Name der Integrationsregel von Newton-Cotes-Typ mit drei Stützstellen?

A:

Simpsonregel

Q:

Was bezeichnet die Quadratur?

A:

Die Approximation der Fläche unter einer stetigen Funktion.

Q:

Welche Funktionen können mit Hilfe der Quadratur integriert werden.

A:

Alle Riemann integrablen Funktionen.

Q:

Wie lässt sich die Grundidee der Quadratur zusammen fassen?

A:

Aufteilung des Integrationsintervall in kurze Abschnitte und stückweise Approximation der Funktion auf diesen Intervallen durch Polynome.

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