1. Semester an der Universität Passau

Karteikarten und Zusammenfassungen für 1. Semester an der Universität Passau

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Beispielhafte Karteikarten für 1. Semester an der Universität Passau auf StudySmarter:

Beweis durch Wiederspruch

(Beispiel: Es gibt keine rationale Zahl deren Quadrart 2 ist)

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Fallunterscheidung

(Beispiel: Für alle n ∈ Z ist n² +3n +7 ungerade)

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Beweis

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Gebundene Variablen

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Freie Variablen

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Prädikatenlogik

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Kartesisches Produkt von A und B

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Reele Ebene

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(binäre) Verknüpfung

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Eigenschaften einer Verknüpfung #: M x M ---> M

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Beispiele für Verknüpfungen

a) Addition

b) Multiplikation

c) #:Rx------> R, a#b = (a+b)/2

d) Sei X eine nicht-leere Menge und sei M := Abb(X,X) Menge aller Abb.(Funktionen) f:X----->X

Auf M definiere ich die Verknüpfung °:MxM ------> M, (f,g) |------> f°g, wobei (f°g)(x):=f(g(x)) für alle x ∈ X. (Hintereinanderausführung von Funktionen).

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Beispielhafte Karteikarten für 1. Semester an der Universität Passau auf StudySmarter:

1. Semester

Beweis durch Wiederspruch

(Beispiel: Es gibt keine rationale Zahl deren Quadrart 2 ist)

- Prinzip: 

Nehmen an A ist flasch--> logische Folgerungen daraus ziehen --> offentsichtliche falsche Aussage (z.B.: 1=0)

==> A ist falsch widerlegt, kann nicht gelten

==> A ist wahr

- Beispiel: Durch Widerspruch

Angenommen es gibt eine Zahl q=a/b ∈ Q mit a,b ∈ R, b != 0, so dass q²=2 gilt.

Wir dürfen annehmen, dass der Bruch "gekürzt" ist. 

D.h. a,b sind teilerfremd 

==> q² = 2 => a²/b² = 2 => 2b² = a²

==> a² gerade =(a ung. =>a² ung.)=> a gerade

d.h. a=2k für k ∈ Q

==> 2b² =(2k)²=4k² => b²=2k²

==> b² gerade ==> b gerade

Aber zwei gerade Zahlen a und b haben den Teiler 2 ==> nicht teilerfremd   ↯             q.e.d.

1. Semester

Fallunterscheidung

(Beispiel: Für alle n ∈ Z ist n² +3n +7 ungerade)

- Zu beweisender Bereich in Teilbereiche (Fälle) unterteilen

- Fälle müssen alle Möglichkeiten abdecken

- Teilbereiche haben einen leichteren Beweis als das ganze

- Alle Fälle wahr --> Aussage wahr

Beispiel: 

- Fall 1: n ist gerade --> n = 2k für k ∈ Z 

 Beweis: (2k)² + 3(2k) + 7 = 4k² + 6k + 7 = 2(2k² + 3k + 3) + 1 = 2r + 1 mit r:= 2k² + 3k + 3 ∈ Z

==> n²+3n+7 ist ungerade                               q.e.d.

- Fall 2: n ist ungerade --> n = 2k+1 für k ∈

  Beweis: (2k+1)² + 3(2k +1) + 7 = 4k²+4k+1+6k+3+7= 4k²+10k+11=2(2k²+5k+5)+1 = 2r+1 mit r:= 2k²+5k+4 ∈

 ==> n²+3n+7 ist ungerade                              q.e.d.

1. Semester

Beweis

Eine (überzeugende) Erklärung, warum eine Aussage den Wahrheitswert bekommt

1. Semester

- Inklusionszeichen

- Teilmenge von etwas

- {6} ⊆ {6; 7}

1. Semester

Gebundene Variablen

- Vorgegebener Rahmen

- Aussagen möglich

- z.B.: Für alle nat. Zahlen gilt x <5

1. Semester

Freie Variablen

- Keinen vorgegebenen Rahmen

- Ungebunden

- Keine Aussage

- z.B.: x < 5

1. Semester

Prädikatenlogik

- "Aussagen für Elementen"

- Abhängig von Variablen

- Logisches Prädikate/Eigenschaften von Elementen

- P(x)

1. Semester

Kartesisches Produkt von A und B

Seies A,B eine Menge. 

--> Kartesisches Produnkt ist die Menge aller Paare AxB={(a,b)|a∈A,b∈ B}

1. Semester

Reele Ebene

Besteht aus Punkten, wobei jeder Punkt ein Paar aus zwei reelen Zahlen ist

R x R={(x,y) | x∈,y∈R}= R²

1. Semester

(binäre) Verknüpfung

== eine Zuordnung

Beispiel:

- Sei M eine nicht-leere Menge

- Eine Verknüpfung auf M

#:M x M -------> M, a # b = #(a,b)

- Jedem Paar (a,b) ∈ M wird ein eindeutiges Element #(a,b)∈ M zugeordnet.

1. Semester

Eigenschaften einer Verknüpfung #: M x M ---> M

a) assoziativ falls  a#(b#c) = (a#b)#c

b) kommutativ falls a#b = b#a

soll für alle a,b,c ∈ M gelten

1. Semester

Beispiele für Verknüpfungen

a) Addition

b) Multiplikation

c) #:Rx------> R, a#b = (a+b)/2

d) Sei X eine nicht-leere Menge und sei M := Abb(X,X) Menge aller Abb.(Funktionen) f:X----->X

Auf M definiere ich die Verknüpfung °:MxM ------> M, (f,g) |------> f°g, wobei (f°g)(x):=f(g(x)) für alle x ∈ X. (Hintereinanderausführung von Funktionen).

a) +: NxN ----> N ist assoziativ, kommunikativ

Ebenso Addition für Z,oder R

b) *: Rx-----> ist assoziativ, kommunikativ

Ebenso Multiplikation für N,oder Q

c) - Ist kommunikativ, da + auf R kommunikativ ist

    - Ist nicht assoziativ, da (1#0)#0 = 1/4 != 1/2 = 1#(0#0)

d) - ° nicht kommunikativ wenn X mind. 2 Elemente hat. Seien a!=b in X

          a|----> a     a|----> b

Sei f: b|----> a, g:b|----> a             => (g°f)(a)= g(f(a))=b !=  (f°g)(a)=f(g(a))=a

(Für x!=a,b sei f(x),g(x) beliebig)

   - ° ist assoziativ, dann sei x∈ X, zeige f°(g°h)=(f°g)°h

(f°(g°h))(x)=f((g°h)(x))=f(g(h(x)))=(f°g)(h(x))=((f°g)°h)(x).       //Ist das gleiche

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