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Lernmaterialien für Testtheorie VL 10 - Item Response Theorie 1 an der Universität Münster

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TESTE DEIN WISSEN

Item Response Theorie generell

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TESTE DEIN WISSEN

(auch genannt: probabilistische Testtheorie)

-im Gegensatz zur KTT (Fokus auf Testwert Y) Fokussierung auf die Modellierung der Antworten auf einzelne Items

-hauptsächlich bei eindimensionalen, dichotomen Items (können auch offene Items sein) verwendet (logistische Modelle)

-Basis der IRT: Item Response Funktion ->für jedes Item wird der Zusammenhang zwischen einer latenten Variable Teta und der Wahrscheinlichkeit, dass die Person die richtige Item Antwort wählt, über die Item Response Funktion spezifiziert

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TESTE DEIN WISSEN

3 logistische Modelle in der IRT

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TESTE DEIN WISSEN

-Modellierung der Lösungswahrscheinlichkeiten pro Item als Funktion aus Personenparameter und einem oder mehreren Itemparametern

1. 1-PL Modell: Einparametrisches-logistisches Modell (Rasch Modell) -> Items unterscheiden sich nur in ihrer Schwierigkeit (b)

2. 2-PL-Modell: Zweiparametrisches logistisches Modell (Birnbaum Modell): Items unterscheiden sich in Schwierigkeit (b) und ihrer Diskrimination (a)

3. 3-PL-Modell: Dreiparametrisches logistisches Modell (Rate Modell): Items unterscheiden sich in Schwierigkeit, Diskrimination und in ihrem Rateparameter (c)

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TESTE DEIN WISSEN

Ziel der logistischen Modelle

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TESTE DEIN WISSEN

Modellierung der bedingten Wahrscheinlichkeit P ein Item Xi richtig zu beantworten, gegeben dem Personparameter Teta (Fähigkeit).

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Eulersche Zahl

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ca. 2,718

-> gilt als Basis der logistischen Funktion

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Basis logistische Funktion

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TESTE DEIN WISSEN

e°Teta / ( a+e°Teta)

->Personen mit hoher Fähigkeit (hohem Teta) haben hohe Wahrscheinlichkeit das Item richtig zu lösen

-> Personen mit niedrigem Teta lösen Item wahrscheinlich falsch

-> Formel aber nicht endgültig, denn das würde bedeuten dass Personen mit einer bestimmten Merkmalausprägung auf allen Items die gleiche Lösungswahrscheinlichkeit hätten

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Rasch Modell

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e°(Teta-bi) / (1+e°(Teta-bi))

-> b= Schwierigkeitsparameter

-> umso höher b umso schwieriger ist es, das Item richtig zu beantworten 

-> wenn b = Teta dann liegt die Lösungswahrscheinlichkeit bei 50% weil der Exponent dann 0 wird. 

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Birnbaummodell

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e°(ai*(teta-bi)) / (1+ e°(ai+(teta-bi)))

-> zusätzlich Diskrimantionsstärke des Items mit aufgenommen

-> Diskrimnation = wie gut kann ein Item zwischen Personen mit unterschiedlicher Merkmalsausprgung differenzieren

-> im Rasch Modell können sich die Linien nicht überschneiden, da alle Items die gleiche Diskrimination haben, im Birnbaum Modell können Linien sich überschneiden, bzw. nicht parallel sein

-> d.h. Rangfolgen der Lösungswahrscheinlichkeiten der Items hängen davon ab welche Merkmalsausprägung Teta vorliegt.

-> je höher a, desto steiler wird die IRT, denn a = Steigung der Kurve am Wendepunkt

-> je niedriger a, desto flacher IRT, weill Zsmhang zwischen Teta und Lösungswahrscheinlichkeit geringer wird. Item beinhaltet viel Rauschen. 

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Rate Modell

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ci+(1-ci)*(e°(ai*(Teta-bi))/(1+e°(ai*(teta-bi))))

-sinnvoll, denn wenn Teta = 0 dann haben Personen durch die Ratewahrscheinlichkeit immernoch die Chance das Item richtig zu beantworten

-Einbezug von c = Wahrscheinlichkeit pro Item richtig zu raten

-c kann sich je nach Item unterscheiden (offene Items = 0%, bei dichotomen Items 50% etc.) 

-je größer c desto höher die minimale Lösungswahrscheinlichkeit, d.h. für unendlich kleine Teta Werte beträgt Lösungswahrscheinlichkeit exakt c

-1-PL und 2-PL als Spezialfälle von 3-PL (wenn c=0 dann 2-PL, wenn zstl. a= 0 dann 1-PL Modell)


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TESTE DEIN WISSEN

Wahl des entsprechenden Modells

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TESTE DEIN WISSEN

-hängt von Situation ab (Test, Antwortformat, Eigenschaften der Items)

-am häufigsten wird 3-PL verwendet, da es am einfachsten ist und eine Menge nützlicher Eigenschaften hat 

-Rasch-/Birnbaum-/Rate-homogenität heisst die Itemmenge wenn sie durch das entsprechende Modell gut beschrieben wird

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Unterschiede zwischen KTT und IRT

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TESTE DEIN WISSEN

1. unterschiedliche Foki

-> KTT: Testwert

-> IRT: Antworten einzelner Items


2. unterschiedlicher Wertebereich der Lösungswahrscheinlichkeiten

-> KTT: aufgrund des 1. Axioms würde ein linearer Zsmhang zwischen Merkmalsausprägung und Lösungswahrscheinlichkeit angenommen werden, was v.a. bei dichotomen Items keinen Sinn ergibt, da Wahrscheinlichkeiten größer 1 oder kleiner 0 prädiktiert werden 

-> IRT: postuliert nicht-linearen Zusammenhang zwischen Merkmalsausprägung und Lösungswahrscheinlichkeit (Wertebereich zwischen 0  und 1) 


3. unterschiedliche Trennschärfe:

-> KTT: Trennschärfe ist konstant für alle Merkmalsausprägungen: Personen die sich um 0,5 in Teta unterscheiden, unterscheiden sich immer um 1 in ihrer Lösungswahrscheinlichkeit

-> IRT: variierende Trennschärfe je nach Merkmalsausprägung : Personen die sich in Teta um 0,5 unterscheiden unterscheiden sich in ihrer Lösungswahrscheinlichkeit je nach Merkmalsausprägung  (dabei gilt: im mittleren Wertebereich kann besser zwischen Personen differenziert werden)

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Lokale stochastische Unabhängigkeit

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TESTE DEIN WISSEN

-Annahme in allen IRT Modellen: die Zusammenhänge zwischen der Beantwortung verschiedener Items durch eine Person lassen sich alleine auf das latente Merkmal zurückführen (es darf kein anderes Merkmal geben, das darüber hinaus Korrelationen erzeugen könnte)

-bei fixem Wert von Teta ist die Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Item zu lösen, unabhängig davon, vorher irgendein anderes Item gelöst zu haben 

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TESTE DEIN WISSEN

formale Definition stochastischer Unabhängigkeit

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TESTE DEIN WISSEN

die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Antwortmusters für n Items ist Produkt der bedingten Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Beantwortungen 

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Q:

Item Response Theorie generell

A:

(auch genannt: probabilistische Testtheorie)

-im Gegensatz zur KTT (Fokus auf Testwert Y) Fokussierung auf die Modellierung der Antworten auf einzelne Items

-hauptsächlich bei eindimensionalen, dichotomen Items (können auch offene Items sein) verwendet (logistische Modelle)

-Basis der IRT: Item Response Funktion ->für jedes Item wird der Zusammenhang zwischen einer latenten Variable Teta und der Wahrscheinlichkeit, dass die Person die richtige Item Antwort wählt, über die Item Response Funktion spezifiziert

Q:

3 logistische Modelle in der IRT

A:

-Modellierung der Lösungswahrscheinlichkeiten pro Item als Funktion aus Personenparameter und einem oder mehreren Itemparametern

1. 1-PL Modell: Einparametrisches-logistisches Modell (Rasch Modell) -> Items unterscheiden sich nur in ihrer Schwierigkeit (b)

2. 2-PL-Modell: Zweiparametrisches logistisches Modell (Birnbaum Modell): Items unterscheiden sich in Schwierigkeit (b) und ihrer Diskrimination (a)

3. 3-PL-Modell: Dreiparametrisches logistisches Modell (Rate Modell): Items unterscheiden sich in Schwierigkeit, Diskrimination und in ihrem Rateparameter (c)

Q:

Ziel der logistischen Modelle

A:

Modellierung der bedingten Wahrscheinlichkeit P ein Item Xi richtig zu beantworten, gegeben dem Personparameter Teta (Fähigkeit).

Q:

Eulersche Zahl

A:

ca. 2,718

-> gilt als Basis der logistischen Funktion

Q:

Basis logistische Funktion

A:

e°Teta / ( a+e°Teta)

->Personen mit hoher Fähigkeit (hohem Teta) haben hohe Wahrscheinlichkeit das Item richtig zu lösen

-> Personen mit niedrigem Teta lösen Item wahrscheinlich falsch

-> Formel aber nicht endgültig, denn das würde bedeuten dass Personen mit einer bestimmten Merkmalausprägung auf allen Items die gleiche Lösungswahrscheinlichkeit hätten

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Q:

Rasch Modell

A:

e°(Teta-bi) / (1+e°(Teta-bi))

-> b= Schwierigkeitsparameter

-> umso höher b umso schwieriger ist es, das Item richtig zu beantworten 

-> wenn b = Teta dann liegt die Lösungswahrscheinlichkeit bei 50% weil der Exponent dann 0 wird. 

Q:

Birnbaummodell

A:

e°(ai*(teta-bi)) / (1+ e°(ai+(teta-bi)))

-> zusätzlich Diskrimantionsstärke des Items mit aufgenommen

-> Diskrimnation = wie gut kann ein Item zwischen Personen mit unterschiedlicher Merkmalsausprgung differenzieren

-> im Rasch Modell können sich die Linien nicht überschneiden, da alle Items die gleiche Diskrimination haben, im Birnbaum Modell können Linien sich überschneiden, bzw. nicht parallel sein

-> d.h. Rangfolgen der Lösungswahrscheinlichkeiten der Items hängen davon ab welche Merkmalsausprägung Teta vorliegt.

-> je höher a, desto steiler wird die IRT, denn a = Steigung der Kurve am Wendepunkt

-> je niedriger a, desto flacher IRT, weill Zsmhang zwischen Teta und Lösungswahrscheinlichkeit geringer wird. Item beinhaltet viel Rauschen. 

Q:

Rate Modell

A:

ci+(1-ci)*(e°(ai*(Teta-bi))/(1+e°(ai*(teta-bi))))

-sinnvoll, denn wenn Teta = 0 dann haben Personen durch die Ratewahrscheinlichkeit immernoch die Chance das Item richtig zu beantworten

-Einbezug von c = Wahrscheinlichkeit pro Item richtig zu raten

-c kann sich je nach Item unterscheiden (offene Items = 0%, bei dichotomen Items 50% etc.) 

-je größer c desto höher die minimale Lösungswahrscheinlichkeit, d.h. für unendlich kleine Teta Werte beträgt Lösungswahrscheinlichkeit exakt c

-1-PL und 2-PL als Spezialfälle von 3-PL (wenn c=0 dann 2-PL, wenn zstl. a= 0 dann 1-PL Modell)


Q:

Wahl des entsprechenden Modells

A:

-hängt von Situation ab (Test, Antwortformat, Eigenschaften der Items)

-am häufigsten wird 3-PL verwendet, da es am einfachsten ist und eine Menge nützlicher Eigenschaften hat 

-Rasch-/Birnbaum-/Rate-homogenität heisst die Itemmenge wenn sie durch das entsprechende Modell gut beschrieben wird

Q:

Unterschiede zwischen KTT und IRT

A:

1. unterschiedliche Foki

-> KTT: Testwert

-> IRT: Antworten einzelner Items


2. unterschiedlicher Wertebereich der Lösungswahrscheinlichkeiten

-> KTT: aufgrund des 1. Axioms würde ein linearer Zsmhang zwischen Merkmalsausprägung und Lösungswahrscheinlichkeit angenommen werden, was v.a. bei dichotomen Items keinen Sinn ergibt, da Wahrscheinlichkeiten größer 1 oder kleiner 0 prädiktiert werden 

-> IRT: postuliert nicht-linearen Zusammenhang zwischen Merkmalsausprägung und Lösungswahrscheinlichkeit (Wertebereich zwischen 0  und 1) 


3. unterschiedliche Trennschärfe:

-> KTT: Trennschärfe ist konstant für alle Merkmalsausprägungen: Personen die sich um 0,5 in Teta unterscheiden, unterscheiden sich immer um 1 in ihrer Lösungswahrscheinlichkeit

-> IRT: variierende Trennschärfe je nach Merkmalsausprägung : Personen die sich in Teta um 0,5 unterscheiden unterscheiden sich in ihrer Lösungswahrscheinlichkeit je nach Merkmalsausprägung  (dabei gilt: im mittleren Wertebereich kann besser zwischen Personen differenziert werden)

Q:

Lokale stochastische Unabhängigkeit

A:

-Annahme in allen IRT Modellen: die Zusammenhänge zwischen der Beantwortung verschiedener Items durch eine Person lassen sich alleine auf das latente Merkmal zurückführen (es darf kein anderes Merkmal geben, das darüber hinaus Korrelationen erzeugen könnte)

-bei fixem Wert von Teta ist die Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Item zu lösen, unabhängig davon, vorher irgendein anderes Item gelöst zu haben 

Q:

formale Definition stochastischer Unabhängigkeit

A:

die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Antwortmusters für n Items ist Produkt der bedingten Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Beantwortungen 

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