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Lernmaterialien für ALM an der Universität Münster

Greife auf kostenlose Karteikarten, Zusammenfassungen, Übungsaufgaben und Altklausuren für deinen ALM Kurs an der Universität Münster zu.

TESTE DEIN WISSEN

ALM mit stetigen und kategorialen Prädiktoren: 

  • Wie ist die Interpretation für den stetigen Prädiktor?
  • Wie ist die Interpretation für eine Dummy-Variable D?
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Die Interpretationsregel für den stetigen Prädiktor ändert sich nicht: 

  • Gewicht des stetigen Prädiktors = erwartete Veränderung in y, wenn man den stetigen Prädiktor um eine Einheit erhöht; kontrolliert für die anderen (inklusive der kategorialen Prädiktoren)


Interpretation des Gewichts einer Dummy-Variablen D:

  • Gewicht einer Dummy-Variablen D = Differenz zwischen dem adjustierten Mittelwert der Kategorie, die D kodiert, und dem adjustierten Mittelwert der Referenzkategorie
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Wann ist die Verwendung von Gütemaßen wie dem adjustierten R^2 oder dem AIC besonders sinnvoll?

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Für den Vergleich der Güte unterschiedlicher Modelle mit verschiedenen Anzahlen an Prädiktoren, denn R^2 ist abhängig von der Anzahl der Prädiktoren. Das alleinige Hinzufügen von Prädiktoren zum Modell lässt R^2 wachsen und den Standardschätzfehler Se kleiner werden. Auch, wenn die hinzugefügten Prädiktoren in der Population nicht mit dem Kriterium zusammenhängen.

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  • Welches Problem löst die (z-)Standardisierung?
  • Wann wird sie vorgenommen?
  • Was ändert die Standardisierung an der Interpretation der Regressionsgewichte bk?
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Problem: Dei Regressionsgewichte mehrerer Prädiktoren sagen nicht, welcher Prädiktor zur Vorhersage des Kriteriums wichtiger ist, da die Prädiktoren i.d.R. verschiedene Skalen haben (z.B. 1 Einheit im IQ-Test vs. 1 Einheit im Gewissenhaftigkeitsfragebogen)


--> Die Gewichte stetiger Prädiktoren werden oft standardisiert, um die Interpretierbarkeit zu erhöhen. 

  • Wann? Wenn ein Vergleich von Vorhersagebeiträgen verschiedener Prädiktoren innerhalb eines Modells gewünscht ist. 
  • bei moderierter Regression: Kriterium, Prädiktoren & Moderatoren vor der Analyse z-standardisieren
  • Nicht sinnvoll beim Vergleich der Gewichte verschiedener Gruppen (z.B. Frauen vs. Männer)


Interpretation der Regressionsgewichte Bk:

  • Veränderung im Kriterium (in Einheiten der SD), wenn man den Prädiktor um eine Standardabweichung erhöht (kontrolliert für die anderen Prädiktoren)


  • Mittelwert einer z-transformierten Variable = 0

Standardabweichung einer z-transformierten Variable = 1

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Wie lässt sich Multikollinearität feststellen?

Was tun, wenn Multikollinearität vorliegt?

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Diagnose:

  • Standardfehler anschauen: Wenn die Standardfehler sehr viel größer sind als die Varianz des Kriteriums --> Hinweis auf Multikollinearität
  • Korrelationsmatrix der Prädiktoren anschauen: Wenn Korrelationen sehr hoch sind --> Hinweis auf Multikollinearität
  • Varianzinflationsfaktor (VIF) eines Prädiktors (1/Tol = Kehrwert der Toleranz)
    • Wenn VIF > 10, liegt Multikollinearität vor
    • In R: vif


Mögliche Konsequenzen bei vorliegender Multikollinearität:

  • Elimenierung oder Aggregation entsprechender Prädiktoren 
  • Ridge-Regression
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Was beschreibt R^2?

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Der Determinationskoeffizient R^2 ist ein standardisiertes Maß der Modellgüte. --> Interpretation von R^2 ist einfacher als von se. 


R^2 = Anteil der systematischen Variation an der Gesamtvariation.


R^2 = 1 bei perfekter Vorhersage


Interpretation von R^2 = .63: 63% der Varianz in den Kriteriumswerten können durch die berücksichtigten Prädiktoren erklärt werden.

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ALM mit stetigen und kategorialen Prädiktoren: 

  • Was sind adjustierte Mittelwerte?
  • Welche Interpretation folgt hieraus für die Gewichte einer Dummy-Variablen D?
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Ein adjustierter Mittelwert beschreibt den Mittelwert der Kategorien, wenn der stetige Prädiktor kontrolliert / "festgehalten" wird.

--> Man hält den stetigen Prädiktor konstant und bestimmt die bedingte Regressionsgerade für die Dummy-Variablen


Egal für welche Ausprägung der stetigen Variable: Die Differenz der Mittelwerte der kategorialen Variablen ist immer gleich ( = Regressionsgewicht) 

--> Das Gewicht einer Dummy-Variablen D gibt den Unterschied zwischen der betrachteten Kategorie und der Referenzkategorie an, wenn man für die Ausprägung der stetigen Prädiktoren kontrolliert


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Wie sind das adjustierte R^2 und der AIC kodiert? 

Welches der beiden Modellgütemaße ist für einen Modellvergleich besser geeignet?

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Adjustiertes R^2: kodiert wie normales R^2. = 1 bei perfekter Vorhersage


AIC: negativ kodiert: Kleineres AIC = bessere Vorhersage


Für den Modellvergleich scheint der AIC besser geeignet zu sein, da er die Modellkomplexität stärker bestraft

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Wie ist die alternative Bezeichnung für ein ALM, in dem sowohl stetige als auch kategoriale Prädiktoren berücksichtigt werden?

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ALM mit beiden Arten an Prädiktoren: Kovarianzanalyse 

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Was beschreibt der Standardschätzfehler se?

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Der Standardschätzfehler se ist ein Modellgütemaß. Se ist ein Gesamtmaß für die Abweichungen der Residuen von der Regressionsgeraden/-fläche ("Wie stark streuen die Residuen um die Regressionsgerade/-fläche?")

 

In se werden alle Residuen der Stichprobe verrechnet (Mittelwert aller Residuen = 0).


Se ist ein negatives Modellgütemaß ( --> hohe Werte = niedrige Güte). 


Se ist abhängig von Skalen und damit unstandardisiert.

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Was ist Multikollinearität?

Welche Konsequenzen hat Multikollinearität?

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Multikollinearität = zwei oder mehr Prädiktoren korrelieren sehr stark miteinander


Konsequenzen:

  • Einfluss auf die numerische Stabilität der Parameterschätzung (--> Man kann die Parameter nicht mehr richtig berechnen)
  • Einfluss auf die Standardfehler der Regressionsgewichte (wenn man die Parameter doch berechnen kann, werden die Standardfehler der Regressionsgewichte zu groß geschätzt, dadurch werden statistische Tests unsicher)
    • Je höher die Prädiktoren korrelieren, desto größer ist der Standardfehler
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Zu welchen falschen Annahmen kann es kommen, wenn Heteroskedastizität vorliegt und damit die Voraussetzung der Homoskedastizität verletzt ist?

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Homoskedastizität = Die Varianz der Fehler variiert nicht systematisch mit den Prädiktoren, also egal, wie die Prädiktoren ausgeprägt sind, die Residualvarianz ist immer gleich


Heteroskedastizität = Die Varianz der Residuen ist abhängig von der Ausprägung der Prädiktoren / eines Prädiktors


--> In einer heteroskedastischen Population würde man sehr viel häufiger einen Effekt unterstellen ( --> H0 ablehnen), obwohl dieser Effekt gar nicht da ist.

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Warum ist "Underfitting" ein Problem?

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Die Parameterschätzungen bzgl. des Populationsmodells sind nur dann korrekt, wenn man alle relevanten Prädiktoren bei der Schätzung berücksichtigt. 

Wenn wichtige Prädiktoren fehlen, kommt es zu einer Verschätzung der Regressionsgewichte.

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Q:

ALM mit stetigen und kategorialen Prädiktoren: 

  • Wie ist die Interpretation für den stetigen Prädiktor?
  • Wie ist die Interpretation für eine Dummy-Variable D?
A:

Die Interpretationsregel für den stetigen Prädiktor ändert sich nicht: 

  • Gewicht des stetigen Prädiktors = erwartete Veränderung in y, wenn man den stetigen Prädiktor um eine Einheit erhöht; kontrolliert für die anderen (inklusive der kategorialen Prädiktoren)


Interpretation des Gewichts einer Dummy-Variablen D:

  • Gewicht einer Dummy-Variablen D = Differenz zwischen dem adjustierten Mittelwert der Kategorie, die D kodiert, und dem adjustierten Mittelwert der Referenzkategorie
Q:

Wann ist die Verwendung von Gütemaßen wie dem adjustierten R^2 oder dem AIC besonders sinnvoll?

A:

Für den Vergleich der Güte unterschiedlicher Modelle mit verschiedenen Anzahlen an Prädiktoren, denn R^2 ist abhängig von der Anzahl der Prädiktoren. Das alleinige Hinzufügen von Prädiktoren zum Modell lässt R^2 wachsen und den Standardschätzfehler Se kleiner werden. Auch, wenn die hinzugefügten Prädiktoren in der Population nicht mit dem Kriterium zusammenhängen.

Q:
  • Welches Problem löst die (z-)Standardisierung?
  • Wann wird sie vorgenommen?
  • Was ändert die Standardisierung an der Interpretation der Regressionsgewichte bk?
A:

Problem: Dei Regressionsgewichte mehrerer Prädiktoren sagen nicht, welcher Prädiktor zur Vorhersage des Kriteriums wichtiger ist, da die Prädiktoren i.d.R. verschiedene Skalen haben (z.B. 1 Einheit im IQ-Test vs. 1 Einheit im Gewissenhaftigkeitsfragebogen)


--> Die Gewichte stetiger Prädiktoren werden oft standardisiert, um die Interpretierbarkeit zu erhöhen. 

  • Wann? Wenn ein Vergleich von Vorhersagebeiträgen verschiedener Prädiktoren innerhalb eines Modells gewünscht ist. 
  • bei moderierter Regression: Kriterium, Prädiktoren & Moderatoren vor der Analyse z-standardisieren
  • Nicht sinnvoll beim Vergleich der Gewichte verschiedener Gruppen (z.B. Frauen vs. Männer)


Interpretation der Regressionsgewichte Bk:

  • Veränderung im Kriterium (in Einheiten der SD), wenn man den Prädiktor um eine Standardabweichung erhöht (kontrolliert für die anderen Prädiktoren)


  • Mittelwert einer z-transformierten Variable = 0

Standardabweichung einer z-transformierten Variable = 1

Q:

Wie lässt sich Multikollinearität feststellen?

Was tun, wenn Multikollinearität vorliegt?

A:

Diagnose:

  • Standardfehler anschauen: Wenn die Standardfehler sehr viel größer sind als die Varianz des Kriteriums --> Hinweis auf Multikollinearität
  • Korrelationsmatrix der Prädiktoren anschauen: Wenn Korrelationen sehr hoch sind --> Hinweis auf Multikollinearität
  • Varianzinflationsfaktor (VIF) eines Prädiktors (1/Tol = Kehrwert der Toleranz)
    • Wenn VIF > 10, liegt Multikollinearität vor
    • In R: vif


Mögliche Konsequenzen bei vorliegender Multikollinearität:

  • Elimenierung oder Aggregation entsprechender Prädiktoren 
  • Ridge-Regression
Q:

Was beschreibt R^2?

A:

Der Determinationskoeffizient R^2 ist ein standardisiertes Maß der Modellgüte. --> Interpretation von R^2 ist einfacher als von se. 


R^2 = Anteil der systematischen Variation an der Gesamtvariation.


R^2 = 1 bei perfekter Vorhersage


Interpretation von R^2 = .63: 63% der Varianz in den Kriteriumswerten können durch die berücksichtigten Prädiktoren erklärt werden.

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Q:

ALM mit stetigen und kategorialen Prädiktoren: 

  • Was sind adjustierte Mittelwerte?
  • Welche Interpretation folgt hieraus für die Gewichte einer Dummy-Variablen D?
A:

Ein adjustierter Mittelwert beschreibt den Mittelwert der Kategorien, wenn der stetige Prädiktor kontrolliert / "festgehalten" wird.

--> Man hält den stetigen Prädiktor konstant und bestimmt die bedingte Regressionsgerade für die Dummy-Variablen


Egal für welche Ausprägung der stetigen Variable: Die Differenz der Mittelwerte der kategorialen Variablen ist immer gleich ( = Regressionsgewicht) 

--> Das Gewicht einer Dummy-Variablen D gibt den Unterschied zwischen der betrachteten Kategorie und der Referenzkategorie an, wenn man für die Ausprägung der stetigen Prädiktoren kontrolliert


Q:

Wie sind das adjustierte R^2 und der AIC kodiert? 

Welches der beiden Modellgütemaße ist für einen Modellvergleich besser geeignet?

A:

Adjustiertes R^2: kodiert wie normales R^2. = 1 bei perfekter Vorhersage


AIC: negativ kodiert: Kleineres AIC = bessere Vorhersage


Für den Modellvergleich scheint der AIC besser geeignet zu sein, da er die Modellkomplexität stärker bestraft

Q:

Wie ist die alternative Bezeichnung für ein ALM, in dem sowohl stetige als auch kategoriale Prädiktoren berücksichtigt werden?

A:

ALM mit beiden Arten an Prädiktoren: Kovarianzanalyse 

Q:

Was beschreibt der Standardschätzfehler se?

A:

Der Standardschätzfehler se ist ein Modellgütemaß. Se ist ein Gesamtmaß für die Abweichungen der Residuen von der Regressionsgeraden/-fläche ("Wie stark streuen die Residuen um die Regressionsgerade/-fläche?")

 

In se werden alle Residuen der Stichprobe verrechnet (Mittelwert aller Residuen = 0).


Se ist ein negatives Modellgütemaß ( --> hohe Werte = niedrige Güte). 


Se ist abhängig von Skalen und damit unstandardisiert.

Q:

Was ist Multikollinearität?

Welche Konsequenzen hat Multikollinearität?

A:

Multikollinearität = zwei oder mehr Prädiktoren korrelieren sehr stark miteinander


Konsequenzen:

  • Einfluss auf die numerische Stabilität der Parameterschätzung (--> Man kann die Parameter nicht mehr richtig berechnen)
  • Einfluss auf die Standardfehler der Regressionsgewichte (wenn man die Parameter doch berechnen kann, werden die Standardfehler der Regressionsgewichte zu groß geschätzt, dadurch werden statistische Tests unsicher)
    • Je höher die Prädiktoren korrelieren, desto größer ist der Standardfehler
Q:

Zu welchen falschen Annahmen kann es kommen, wenn Heteroskedastizität vorliegt und damit die Voraussetzung der Homoskedastizität verletzt ist?

A:

Homoskedastizität = Die Varianz der Fehler variiert nicht systematisch mit den Prädiktoren, also egal, wie die Prädiktoren ausgeprägt sind, die Residualvarianz ist immer gleich


Heteroskedastizität = Die Varianz der Residuen ist abhängig von der Ausprägung der Prädiktoren / eines Prädiktors


--> In einer heteroskedastischen Population würde man sehr viel häufiger einen Effekt unterstellen ( --> H0 ablehnen), obwohl dieser Effekt gar nicht da ist.

Q:

Warum ist "Underfitting" ein Problem?

A:

Die Parameterschätzungen bzgl. des Populationsmodells sind nur dann korrekt, wenn man alle relevanten Prädiktoren bei der Schätzung berücksichtigt. 

Wenn wichtige Prädiktoren fehlen, kommt es zu einer Verschätzung der Regressionsgewichte.

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