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Karteikarten
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Studierende
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Lernmaterialien
Multivariate Normalverteilung
Multinormalverteiltheit = im univariaten Fall sollten die Daten normalverteilt sein
x ∼ Np (μ, Σ) = Zufallsvektor ist p-variat normalverteilt
wenn Zufallsvektor multivariat normalverteilt ist, und Kovarianzen sind alle 0, dann folgt daraus: die Variablen sind alle unabhängig.
Falls x ∼ Np (μ, Σ), dann sind sämtliche Komponenten von x univariat normalverteilt und dann ist S der Maximum-Likelihood-Schätzer für Σ
Falls x ∼ Np (μ, Σ) mit μ = 0p und Σ = Ip, dann heißt x auch p-variat standardnormalverteilt
Sphärizität
Wenn man p-viele Messzeitpunkte hat: Differenzen zwischen Messzeitpunkten herausfinden; Sphärizität meint das diese Differenzen bzgl. ihrer Varianz über die Differenzen über alle Messzeitpunkte gleich sein müssen (ziemlich starke Voraussetzung)
Inverse
A ^− 1
A · A-1 = In
Eine Matrix A ist invertierbar, falls es eine Matrix B gibt, so dass A · B = B · A = In (Einheitsmatrix). Dann ist B die Inverse von A
Eine Matrix ist invertierbar, wenn A vollen Rand hat (regulär). Ist sie nicht invertierbar nennt man sie singulär
Konstruktion von Ellipsoiden
Hauptachsen sind durch Eigenvektoren der Kovarianzmatrix S gegeben
halbe Längen der Hauptachsen sind durch Wurzeln der zugehörigen Eigenwerte definiert
Hotellings t²-Test
Zweistichprobenfall: Unabhängige Stichproben
Freiheitsgrade:
1. p
2. n1 + n2 - p - 1
Transposition
Zeilen zu Spalten transponieren et vice versa
Symmetrisch
wenn A = A‘
Lineare Unabhängigkeit
2 Vektoren sind linear unabhängig, wenn es nur eine triviale Linearkombination (also mit dem Skalar 0 multipliziert) gibt, um einen entsprechenden Nullvektor darzustellen
Beispiel: Rang 2
1 2 1
0 0 0
0 2 1
Zwei linear unabhängige Vektoren =
(Vektor 2 und 3 sind linear abhängig, Vektor 1 und 2 und Vektor 1 und 3 sind linear unabhängig)
Rang 1 (mind.)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(1 * x1 + (-2 * x2) + 1 * x3) = 0
Einheitsmatrix
(In) Eine Diagonalmatrix mit nur Einsen in der Diagonalen
Zentrierte Vektoren bzw. Abweichungsvektoren (dj)
man zieht von allen Komponenten eines Variablenvektors den jeweiligen Mittelwert ab
Hotellings T²-Test
1. Einstichprobenfall
x ∼ Np(μ, Σ)
H0: μ = μ0
H1: μ ≠ μ0
(sind ALLE Komponenten des Vektors gleich oder gibt es zw. mindestens 2 Komponenten einen Unterschied)
Freiheitsgrade
1. p
2. n-p
Spur
Summe der Diagonalelemente
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