Lineare Algebra 2 an der Universität Heidelberg

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M Rang 1

End(M) ≅ ?

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Isom Erweiterung von M

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R⊗M 

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UE n-te äußere Potenz von M

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Def einfacher Modul M

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Def charakteristisches Ideal von M

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Äquiv. Prim/max Ideal zu R/I

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Jordanmatrix

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f⊗g (Modulhom)

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Def Restriktion

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Def Einheit e in R

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Lineare Algebra 2

M Rang 1

End(M) ≅ ?

R ≅ End(M) = Hom(M,M)

r-> my_r mit my_r: M->M, x->rx

Lineare Algebra 2

Isom Erweiterung von M

M_Q(R) = Q(R)⊗M ≅  Q(M)

R-Modulisom.

Q(R)-VR-Isom

Lineare Algebra 2

R⊗M 

R⊗M ≅ M

∑ai⊗mi -> ∑aimi

Lineare Algebra 2

UE n-te äußere Potenz von M

Modul A n-te äußere Potenz von M

alpha: M^n -> A  n-fach alternierend

<=>

f.a. Moduln N und n-fach alt. abb. phi: M^n -> L ex. genau ein Modulhom f: A-> L mit f∘alpha=phi

Lineare Algebra 2

Def einfacher Modul M

M!=0 und M hat keine Untermoduln außer 0 und M

bzw.

l(M)=1

Lineare Algebra 2

Def charakteristisches Ideal von M

M ee Torsionsmodul, R HIR, kein Krp.

c1...cs Elemteiler von M => chi(M) = (c1*...*cs)

Für G endl. abel. Gr. => chi(G) = (|G|)

exakte Folge von Tors.mod. chi(M) = chi(M')*chi(M'')

Lineare Algebra 2

Äquiv. Prim/max Ideal zu R/I

I Prim <=> R/I ntf

I max. <=> R/J Krp.

Lineare Algebra 2

Jordanmatrix

J(lambda,e) = lambda in diag und diag drunter einserdiag. ≈ B_f, wobei f = (t-lambda)^e

Lineare Algebra 2

f⊗g (Modulhom)

f⊗g(m⊗n) = f(m)⊗g(n) (Hom.)

f,g Isom. => f⊗g Isom.

f,g surj => f⊗g surj.

Lineare Algebra 2

Def Restriktion

f: R->S Ringhom. M S-Modul

mit RxM -> M; (r,m) -> f(r)*s

wird M zum R Modul

Lineare Algebra 2

Def Einheit e in R

ex. y in R mit ey=1

Lineare Algebra 2

Def HIR R

R ntf und alle Ideale sind HI

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