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Lernmaterialien für 6. Kurven an der Universität Heidelberg

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TESTE DEIN WISSEN

Def Kurve

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γ: [a,b] oder ℝ-> ℝ^n stetig

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Def Diffbarkeit von Kurven

(stetig diffbar, regulär, Geschwindigkeit)

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γ stetig diffbar: γ1,..,γn stetig diffbar

γ regulär: ∀t∈D: γ'(t) ≠ 0

Geschwindigkeit: r(t) = ||γ'(t)||_2

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TESTE DEIN WISSEN

Def Tangente

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TESTE DEIN WISSEN

γ stetig diffbar und t0∈D mit γ regulät in t0 ⇒ Tangente:

{γ(t0)+s*γ'(t0); s∈ℝ}

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Def Rektifizierbarkeit, Länge von γ

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γ stetig, Menge aller Längen S(Z) von Polygonen zu Paritionen Z von D beschräkt ist.

Dann ist die Länge von γ: S(γ) = sup{S(Z); Z Partition von D}

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Rektifizierbarkeit direkt durch Eig.

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TESTE DEIN WISSEN

γ Lipschitzstetig, Intervall D nicht unendlich lang⇒  γ rektifizierbar

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Kurvenänge

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[a,b] kompakt, γ stetig und stückweise stetig differenzierbar ⇒

γ rektifizierbar mit Länge S(γ) = ∫(a to b) ||γ'(t)|| dt = ∫r(t)dt

Insb. für f: [a,b]->ℝ stetig diff ⇒ γ_f(t) = (t, f(t)) S(γ_f) = ∫ sqrt(1+f'(t)^2) dt (Länge vom Graph)

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Def Parametertrafo

Umparametrisierung

orientierungstreu/-umkehrend

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C^k-Par.trafo.: φ: [α,β]->[a,b], φ∈C^k und bijektiv und φ^-1∈C^k

Umpar.: γ Kurve, δ Umpar: δ=γ∘φ

Par.trafo φ orient.treu/umk.: φ streng monoton wachsend/fallend

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Bemerkungen zu C^1-Parametertransformation

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φ C^1-Par.trafo=> φ'(t)≠0 ∀t.⇒  φ diffeomorphismus.

φ orient.treu/umk ⇔ φ'(t)>0/<0

Bogenlänge ändert sich nicht beim Umparam.

Umparam. auf Bogenlänge: γ regulär+stetdiff ⇒ σ(t) = ∫(a bis t) ||γ'(τ)||dτ => φ=σ^-1 orient.treu param.trafo.

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Def Integrationsweg

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Kurve γ stückweise C^1

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Def Skalares Kurvenintegral

Skalares Bogenelement

Skalarfeld

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γ: [a,b]->D⊆ℝ^n Integrationsweg, f: D->ℝ stetig

skalares Kurvenintegral: ∫_γ f ds = ∫(a bis b) f(γ(t))*||γ'(t)|| dt

skalares Bogenelement: ds = ||γ'(t)||dt

Skalarfeld: f

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Def Vektorfeld

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VF F: D⊆ℝ^n->ℝ^n

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Def vektorielles Kurvenintegral

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γ:[a,b]->D⊆ℝ^n Integrationsweg und F: D->ℝ^n stetiges Vektorfeld.

∫_γ F = ∫_γ F ds = ∫(a bis b) (F(γ(t)), γ'(t)) dt

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Beispielhafte Karteikarten für deinen 6. Kurven Kurs an der Universität Heidelberg - von Kommilitonen auf StudySmarter erstellt!

Q:

Def Kurve

A:

γ: [a,b] oder ℝ-> ℝ^n stetig

Q:

Def Diffbarkeit von Kurven

(stetig diffbar, regulär, Geschwindigkeit)

A:

γ stetig diffbar: γ1,..,γn stetig diffbar

γ regulär: ∀t∈D: γ'(t) ≠ 0

Geschwindigkeit: r(t) = ||γ'(t)||_2

Q:

Def Tangente

A:

γ stetig diffbar und t0∈D mit γ regulät in t0 ⇒ Tangente:

{γ(t0)+s*γ'(t0); s∈ℝ}

Q:

Def Rektifizierbarkeit, Länge von γ

A:

γ stetig, Menge aller Längen S(Z) von Polygonen zu Paritionen Z von D beschräkt ist.

Dann ist die Länge von γ: S(γ) = sup{S(Z); Z Partition von D}

Q:

Rektifizierbarkeit direkt durch Eig.

A:

γ Lipschitzstetig, Intervall D nicht unendlich lang⇒  γ rektifizierbar

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Q:

Kurvenänge

A:

[a,b] kompakt, γ stetig und stückweise stetig differenzierbar ⇒

γ rektifizierbar mit Länge S(γ) = ∫(a to b) ||γ'(t)|| dt = ∫r(t)dt

Insb. für f: [a,b]->ℝ stetig diff ⇒ γ_f(t) = (t, f(t)) S(γ_f) = ∫ sqrt(1+f'(t)^2) dt (Länge vom Graph)

Q:

Def Parametertrafo

Umparametrisierung

orientierungstreu/-umkehrend

A:

C^k-Par.trafo.: φ: [α,β]->[a,b], φ∈C^k und bijektiv und φ^-1∈C^k

Umpar.: γ Kurve, δ Umpar: δ=γ∘φ

Par.trafo φ orient.treu/umk.: φ streng monoton wachsend/fallend

Q:

Bemerkungen zu C^1-Parametertransformation

A:

φ C^1-Par.trafo=> φ'(t)≠0 ∀t.⇒  φ diffeomorphismus.

φ orient.treu/umk ⇔ φ'(t)>0/<0

Bogenlänge ändert sich nicht beim Umparam.

Umparam. auf Bogenlänge: γ regulär+stetdiff ⇒ σ(t) = ∫(a bis t) ||γ'(τ)||dτ => φ=σ^-1 orient.treu param.trafo.

Q:

Def Integrationsweg

A:

Kurve γ stückweise C^1

Q:

Def Skalares Kurvenintegral

Skalares Bogenelement

Skalarfeld

A:

γ: [a,b]->D⊆ℝ^n Integrationsweg, f: D->ℝ stetig

skalares Kurvenintegral: ∫_γ f ds = ∫(a bis b) f(γ(t))*||γ'(t)|| dt

skalares Bogenelement: ds = ||γ'(t)||dt

Skalarfeld: f

Q:

Def Vektorfeld

A:

VF F: D⊆ℝ^n->ℝ^n

Q:

Def vektorielles Kurvenintegral

A:

γ:[a,b]->D⊆ℝ^n Integrationsweg und F: D->ℝ^n stetiges Vektorfeld.

∫_γ F = ∫_γ F ds = ∫(a bis b) (F(γ(t)), γ'(t)) dt

6. Kurven

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