Lernmaterialien für 6. Kurven an der Universität Heidelberg

γ: [a,b] oder ℝ-> ℝ^n stetig

γ stetig diffbar: γ1,..,γn stetig diffbar

γ regulär: ∀t∈D: γ'(t) ≠ 0

Geschwindigkeit: r(t) = ||γ'(t)||_2

γ stetig diffbar und t0∈D mit γ regulät in t0 ⇒ Tangente:

{γ(t0)+s*γ'(t0); s∈ℝ}

γ stetig, Menge aller Längen S(Z) von Polygonen zu Paritionen Z von D beschräkt ist.

Dann ist die Länge von γ: S(γ) = sup{S(Z); Z Partition von D}

γ Lipschitzstetig, Intervall D nicht unendlich lang⇒  γ rektifizierbar

[a,b] kompakt, γ stetig und stückweise stetig differenzierbar ⇒

γ rektifizierbar mit Länge S(γ) = ∫(a to b) ||γ'(t)|| dt = ∫r(t)dt

Insb. für f: [a,b]->ℝ stetig diff ⇒ γ_f(t) = (t, f(t)) S(γ_f) = ∫ sqrt(1+f'(t)^2) dt (Länge vom Graph)

C^k-Par.trafo.: φ: [α,β]->[a,b], φ∈C^k und bijektiv und φ^-1∈C^k

Umpar.: γ Kurve, δ Umpar: δ=γ∘φ

Par.trafo φ orient.treu/umk.: φ streng monoton wachsend/fallend

φ C^1-Par.trafo=> φ'(t)≠0 ∀t.⇒  φ diffeomorphismus.

φ orient.treu/umk ⇔ φ'(t)>0/<0

Bogenlänge ändert sich nicht beim Umparam.

Umparam. auf Bogenlänge: γ regulär+stetdiff ⇒ σ(t) = ∫(a bis t) ||γ'(τ)||dτ => φ=σ^-1 orient.treu param.trafo.

Kurve γ stückweise C^1

γ: [a,b]->D⊆ℝ^n Integrationsweg, f: D->ℝ stetig

skalares Kurvenintegral: ∫_γ f ds = ∫(a bis b) f(γ(t))*||γ'(t)|| dt

skalares Bogenelement: ds = ||γ'(t)||dt

Skalarfeld: f

VF F: D⊆ℝ^n->ℝ^n

γ:[a,b]->D⊆ℝ^n Integrationsweg und F: D->ℝ^n stetiges Vektorfeld.

∫_γ F = ∫_γ F ds = ∫(a bis b) (F(γ(t)), γ'(t)) dt