4. Differenzierbarkeit an der Universität Heidelberg | Karteikarten & Zusammenfassungen

Lernmaterialien für 4. Differenzierbarkeit an der Universität Heidelberg

Greife auf kostenlose Karteikarten, Zusammenfassungen, Übungsaufgaben und Altklausuren für deinen 4. Differenzierbarkeit Kurs an der Universität Heidelberg zu.

TESTE DEIN WISSEN

Wann ist f diffbar auch stetig

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

D offen. für x∈D: ∃Kr(x)⊆D: ∂if(y) beschränkt ∀y∈Kr(x)

⇒ f stetig in x

Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN

Def 2. part. ableitung

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

∂i∂jf(x) = ∂i(∂jf(x)) = ∂^2f(x)/∂xi∂xj


Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN

Satz von Schwarz

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

Vertauschbarkeit der Diff.reihenfolge:

D offen, f 2-mal stetig diffb. in Kr(x)⊆D eines Punktes x∈D, dann:

∂i∂jf(x) = ∂j∂if(x)

Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN

Def Begriffe der Vektoranalysis (Grad./Hesse-/Jacobimatrix)

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

Gradient: gradf(x) = ∇f(x) = (∂if(x)...∂nf(x))^T

Hessematrix: H_f(x) = ∇^2f(x) = (∂i∂jf(x))i,j

Jacobimatrix: J_f(x) = (∂jfi(x))ij = f'(x) = (∇f(x))^T

Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN

Def Totale Diffb.

Differential

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

D⊆ℝ^n offen, f in x∈D diffb.: ∃A mxn-Matrix mit: lim(h->0, h!=0) (f(x+h)-f(x)-Ah)/||h|| = 0

ODER

f(x+h) = f(x) + Ah + w(h) mit lim(h->0) ||w(h)||/||h|| = 0

Differential von f in x: Df(x)

Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN

Implikationen der Differenzierbarkeiten

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

f part. diffb in Umgebung von x und stetig in x ⇒ f total diffbar in x ⇒ f part. diffb. und Df(x) = Jf(x)

Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN

Richtungsableitung

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

D offen f in x∈D total diffb. ⇒

∀v∈ℝ^n mit ||v||=1 ∃Ableitung in Richtung v, also: ∂f/∂v (x) = lim(t->0+) (f(x+tv)-f(x))/t = (∇f(x),x)_2

Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN

Winkel zw. ∇f(x) und v

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

cos(winkel) = (∇f(x),v)_2/||∇f(x)||*||v||

für ||v||=1 ⇒ ∂f/∂v(x) = ||∇f(x)||*cos(winkel)

Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN

Kettenregel

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

D_f, D_g offen, g in x∈D_g und f in y=g(x)∈D_f total diffb. ⇒ h=f∘g in x total diffb. und Dh(x) = Df(g(x))*Dg(x)

Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN

Mittelwertsatz

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

D offen, f stetig total diffb., x∈D und h∈ℝ^n mit x+sh∈D für s∈[0,1] ⇒

f(x+h)-f(x) = (∫(0 bis 1) Jf(x+sh)ds)*h

Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN

Norm bei Integral

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

||∫A(s)ds|| ≤ ∫||A(s)||ds für A stetige Funktionen

Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN

Def Partielle Ableitung

part. diffb.


Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

D offen f part. diffb. nach i-ter Koordinatenrichtung: ∂if(x) = lim(h to 0) (f(c+h*ei)-f(x))/h

f part. diffbar wenn part. diffb. nach allen Koordinatenrichtungen

∂if(x) stetig ⇒ f stet. part. diffb.

Lösung ausblenden
  • 94296 Karteikarten
  • 1779 Studierende
  • 94 Lernmaterialien

Beispielhafte Karteikarten für deinen 4. Differenzierbarkeit Kurs an der Universität Heidelberg - von Kommilitonen auf StudySmarter erstellt!

Q:

Wann ist f diffbar auch stetig

A:

D offen. für x∈D: ∃Kr(x)⊆D: ∂if(y) beschränkt ∀y∈Kr(x)

⇒ f stetig in x

Q:

Def 2. part. ableitung

A:

∂i∂jf(x) = ∂i(∂jf(x)) = ∂^2f(x)/∂xi∂xj


Q:

Satz von Schwarz

A:

Vertauschbarkeit der Diff.reihenfolge:

D offen, f 2-mal stetig diffb. in Kr(x)⊆D eines Punktes x∈D, dann:

∂i∂jf(x) = ∂j∂if(x)

Q:

Def Begriffe der Vektoranalysis (Grad./Hesse-/Jacobimatrix)

A:

Gradient: gradf(x) = ∇f(x) = (∂if(x)...∂nf(x))^T

Hessematrix: H_f(x) = ∇^2f(x) = (∂i∂jf(x))i,j

Jacobimatrix: J_f(x) = (∂jfi(x))ij = f'(x) = (∇f(x))^T

Q:

Def Totale Diffb.

Differential

A:

D⊆ℝ^n offen, f in x∈D diffb.: ∃A mxn-Matrix mit: lim(h->0, h!=0) (f(x+h)-f(x)-Ah)/||h|| = 0

ODER

f(x+h) = f(x) + Ah + w(h) mit lim(h->0) ||w(h)||/||h|| = 0

Differential von f in x: Df(x)

Mehr Karteikarten anzeigen
Q:

Implikationen der Differenzierbarkeiten

A:

f part. diffb in Umgebung von x und stetig in x ⇒ f total diffbar in x ⇒ f part. diffb. und Df(x) = Jf(x)

Q:

Richtungsableitung

A:

D offen f in x∈D total diffb. ⇒

∀v∈ℝ^n mit ||v||=1 ∃Ableitung in Richtung v, also: ∂f/∂v (x) = lim(t->0+) (f(x+tv)-f(x))/t = (∇f(x),x)_2

Q:

Winkel zw. ∇f(x) und v

A:

cos(winkel) = (∇f(x),v)_2/||∇f(x)||*||v||

für ||v||=1 ⇒ ∂f/∂v(x) = ||∇f(x)||*cos(winkel)

Q:

Kettenregel

A:

D_f, D_g offen, g in x∈D_g und f in y=g(x)∈D_f total diffb. ⇒ h=f∘g in x total diffb. und Dh(x) = Df(g(x))*Dg(x)

Q:

Mittelwertsatz

A:

D offen, f stetig total diffb., x∈D und h∈ℝ^n mit x+sh∈D für s∈[0,1] ⇒

f(x+h)-f(x) = (∫(0 bis 1) Jf(x+sh)ds)*h

Q:

Norm bei Integral

A:

||∫A(s)ds|| ≤ ∫||A(s)||ds für A stetige Funktionen

Q:

Def Partielle Ableitung

part. diffb.


A:

D offen f part. diffb. nach i-ter Koordinatenrichtung: ∂if(x) = lim(h to 0) (f(c+h*ei)-f(x))/h

f part. diffbar wenn part. diffb. nach allen Koordinatenrichtungen

∂if(x) stetig ⇒ f stet. part. diffb.

4. Differenzierbarkeit

Erstelle und finde Lernmaterialien auf StudySmarter.

Greife kostenlos auf tausende geteilte Karteikarten, Zusammenfassungen, Altklausuren und mehr zu.

Jetzt loslegen

Das sind die beliebtesten StudySmarter Kurse für deinen Studiengang 4. Differenzierbarkeit an der Universität Heidelberg

Für deinen Studiengang 4. Differenzierbarkeit an der Universität Heidelberg gibt es bereits viele Kurse, die von deinen Kommilitonen auf StudySmarter erstellt wurden. Karteikarten, Zusammenfassungen, Altklausuren, Übungsaufgaben und mehr warten auf dich!

Mehr Karteikarten anzeigen

Das sind die beliebtesten 4. Differenzierbarkeit Kurse im gesamten StudySmarter Universum

J1: Differenzielle

Universität Mannheim

Zum Kurs
Differenzielle 2.0

Universität Münster

Zum Kurs
Differentielle 4

IUBH Internationale Hochschule

Zum Kurs
Differenzierte Aufgaben

Pädagogische Hochschule Heidelberg

Zum Kurs
differenzielle und persönlichkeit

Medical School Berlin

Zum Kurs

Die all-in-one Lernapp für Studierende

Greife auf Millionen geteilter Lernmaterialien der StudySmarter Community zu
Kostenlos anmelden 4. Differenzierbarkeit
Erstelle Karteikarten und Zusammenfassungen mit den StudySmarter Tools
Kostenlos loslegen 4. Differenzierbarkeit