Select your language

Suggested languages for you:
Log In Anmelden

Lernmaterialien für 2. n-dim Zahlenraum an der Universität Heidelberg

Greife auf kostenlose Karteikarten, Zusammenfassungen, Übungsaufgaben und Altklausuren für deinen 2. n-dim Zahlenraum Kurs an der Universität Heidelberg zu.

TESTE DEIN WISSEN

Def Norm

normierter Raum

Norm->Metrik

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

||.||: V -> |R (V R-VR)

Definitheit ||x|| ≥ 0, ||x||=0 <=> x=0

Homogenität ||ax|| = |a|*||x||

Dreiecksugl ||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||

norm. Raum: (V, ||.||)

Norm->Metrik: d(x,y) = ||x-y||

Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN

Def Folge beschränkt

Cauchy-Folge

konvergent gegen x

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

(xk)k, xk in |K^n

beschr: f.a. k: xk in K_R(0)={x in |K^n; ||x-0||<R}

CF: fa ε>0 ex N in |N mit fa k,l ≥ N: ||xk - xl|| < ε

konv.: ||xk - x|| -> 0 für k->∞

Betrachte ||.||∞

Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN

Satz von Cauchy (+ Banachraum)

Satz von Bolzano-Weierstraß

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

C: Jede CF in |K^n konvergiert; also Raum |K^n vollständig (BANACH-RAUM: vollständig, normierter Raum)

BW: Jede beschränkte Folge in |K^n hat eine konv. Teilfolge

Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN

Äquivalenz von Normen

Äquiv Konvergenz

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

Jede Norm ist äquiv. zu ||.||∞, also ex. m,M>0:

m||x||∞ ≤ ||x|| ≤ M||x||∞

Alle Konv. in beliebiger Norm sind äquiv. zur Konv. mit ||.||∞, aber nicht bei unendlich dimensionalen Räumen

Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN

Def Kugel, Umgebung

offen, geschlossen

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

(offene) Kugel: Kr(a) = {x in |K^n; ||a-x|| < r} 

Umgebung U von a: ex ε>0 mit Kε(a) sset U


offene Menge O: fa. x in O: O Umgebung von x bzw. ex ε>0 mit Kε(a) sset O

geschlossene Menge A: |K^n \ A = A^c offen 

Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN

Eigenschaften offener und abgeschlossener Mengen

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

U,V,Ui offen =>  U⋂V und ⋃Ui offen

O,P,Oi abg. => O⋃P und ⋂Oi abg.

Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN

Charakterisierung abg. Mengen

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

A abg <=> (xk)k mit xk in A und lim xk=a dann a in A

Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN

Def Randpunkt (Rand)

Inneres, Abschluss

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

M sset |K^n, a in |K^n Randpunkt: fa Umgebungen U von a liegt Punkt von M und auch ein Punkt von M^c; Rand: delM


M° Inneres = M\delM

_M: Abschluss = M⋃delM

Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN

Eig. Inneres, Abschluss, Rand

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

Inneres M° ist offen und die größte Menge in M

Abschluss _M ist abg. und die kleinste abg. Menge die M umfasst

Rand delM ist abg.

Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN

Def Kompaktheit

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

M heißt (folgen)kompakt wenn jede Fole aus M eine konv. Teilfolge mit GW in M besitzt

Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN

Äquiv. Kompaktheit (+ Satz von Heine-Borel)

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

M kompakt <=> M beschränkt und abgeschlossen <=> Jede offene Überdeckung (Ui)i von M enthält eine endliche Überdeckung (wichtig: endl. dimensional)

Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN

Def Metrik

metrischer Raum

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

d: X x X -> |R (X Menge)

Definitheit d(x,y) ≥ 0, d(x,y) = 0 <=> x=y

Symmetrie d(x,y)=d(y,x)

Dreiecksugl. d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)

metr. Raum: (X,d)

ind: A sset X => d_A(x,y) = d(x,y)

triv: d(x,y)=krondelta_xy

Lösung ausblenden
  • 150329 Karteikarten
  • 2634 Studierende
  • 98 Lernmaterialien

Beispielhafte Karteikarten für deinen 2. n-dim Zahlenraum Kurs an der Universität Heidelberg - von Kommilitonen auf StudySmarter erstellt!

Q:

Def Norm

normierter Raum

Norm->Metrik

A:

||.||: V -> |R (V R-VR)

Definitheit ||x|| ≥ 0, ||x||=0 <=> x=0

Homogenität ||ax|| = |a|*||x||

Dreiecksugl ||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||

norm. Raum: (V, ||.||)

Norm->Metrik: d(x,y) = ||x-y||

Q:

Def Folge beschränkt

Cauchy-Folge

konvergent gegen x

A:

(xk)k, xk in |K^n

beschr: f.a. k: xk in K_R(0)={x in |K^n; ||x-0||<R}

CF: fa ε>0 ex N in |N mit fa k,l ≥ N: ||xk - xl|| < ε

konv.: ||xk - x|| -> 0 für k->∞

Betrachte ||.||∞

Q:

Satz von Cauchy (+ Banachraum)

Satz von Bolzano-Weierstraß

A:

C: Jede CF in |K^n konvergiert; also Raum |K^n vollständig (BANACH-RAUM: vollständig, normierter Raum)

BW: Jede beschränkte Folge in |K^n hat eine konv. Teilfolge

Q:

Äquivalenz von Normen

Äquiv Konvergenz

A:

Jede Norm ist äquiv. zu ||.||∞, also ex. m,M>0:

m||x||∞ ≤ ||x|| ≤ M||x||∞

Alle Konv. in beliebiger Norm sind äquiv. zur Konv. mit ||.||∞, aber nicht bei unendlich dimensionalen Räumen

Q:

Def Kugel, Umgebung

offen, geschlossen

A:

(offene) Kugel: Kr(a) = {x in |K^n; ||a-x|| < r} 

Umgebung U von a: ex ε>0 mit Kε(a) sset U


offene Menge O: fa. x in O: O Umgebung von x bzw. ex ε>0 mit Kε(a) sset O

geschlossene Menge A: |K^n \ A = A^c offen 

Mehr Karteikarten anzeigen
Q:

Eigenschaften offener und abgeschlossener Mengen

A:

U,V,Ui offen =>  U⋂V und ⋃Ui offen

O,P,Oi abg. => O⋃P und ⋂Oi abg.

Q:

Charakterisierung abg. Mengen

A:

A abg <=> (xk)k mit xk in A und lim xk=a dann a in A

Q:

Def Randpunkt (Rand)

Inneres, Abschluss

A:

M sset |K^n, a in |K^n Randpunkt: fa Umgebungen U von a liegt Punkt von M und auch ein Punkt von M^c; Rand: delM


M° Inneres = M\delM

_M: Abschluss = M⋃delM

Q:

Eig. Inneres, Abschluss, Rand

A:

Inneres M° ist offen und die größte Menge in M

Abschluss _M ist abg. und die kleinste abg. Menge die M umfasst

Rand delM ist abg.

Q:

Def Kompaktheit

A:

M heißt (folgen)kompakt wenn jede Fole aus M eine konv. Teilfolge mit GW in M besitzt

Q:

Äquiv. Kompaktheit (+ Satz von Heine-Borel)

A:

M kompakt <=> M beschränkt und abgeschlossen <=> Jede offene Überdeckung (Ui)i von M enthält eine endliche Überdeckung (wichtig: endl. dimensional)

Q:

Def Metrik

metrischer Raum

A:

d: X x X -> |R (X Menge)

Definitheit d(x,y) ≥ 0, d(x,y) = 0 <=> x=y

Symmetrie d(x,y)=d(y,x)

Dreiecksugl. d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)

metr. Raum: (X,d)

ind: A sset X => d_A(x,y) = d(x,y)

triv: d(x,y)=krondelta_xy

2. n-dim Zahlenraum

Erstelle und finde Lernmaterialien auf StudySmarter.

Greife kostenlos auf tausende geteilte Karteikarten, Zusammenfassungen, Altklausuren und mehr zu.

Jetzt loslegen

Das sind die beliebtesten StudySmarter Kurse für deinen Studiengang 2. n-dim Zahlenraum an der Universität Heidelberg

Für deinen Studiengang 2. n-dim Zahlenraum an der Universität Heidelberg gibt es bereits viele Kurse, die von deinen Kommilitonen auf StudySmarter erstellt wurden. Karteikarten, Zusammenfassungen, Altklausuren, Übungsaufgaben und mehr warten auf dich!

Das sind die beliebtesten 2. n-dim Zahlenraum Kurse im gesamten StudySmarter Universum

Zahlen und Operationen 2

Pädagogische Hochschule Karlsruhe

Zum Kurs

Die all-in-one Lernapp für Studierende

Greife auf Millionen geteilter Lernmaterialien der StudySmarter Community zu
Kostenlos anmelden 2. n-dim Zahlenraum
Erstelle Karteikarten und Zusammenfassungen mit den StudySmarter Tools
Kostenlos loslegen 2. n-dim Zahlenraum