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Lernmaterialien für 1. Funktionenfolgen an der Universität Heidelberg

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TESTE DEIN WISSEN

Integration von Potenzreihen

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TESTE DEIN WISSEN

p=∑an(x-x0)^n mit rho>0 =>

p kov. glm. in [x0-r,x0+r] für 0<r<rho, für [a,b] sset ]x0-rho,x0+rho[:

integral(a bis b) p= ∑an/(n+1)(x-x0)^(n+1)  |(a bis b)

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TESTE DEIN WISSEN

Vollständigkeit vom Funktionenraum C[a,b]

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TESTE DEIN WISSEN

C[a,b] ist vollständig bzgl gleichmäßiger Konverg., dh jede cauchyfolge aus C[a,b] besitzt Limes in C[a,b]

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TESTE DEIN WISSEN

Def Sesquilinearform + Funktionenraum

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TESTE DEIN WISSEN

(f,g) = integral (a bis b) f(x)*conjugate(g(x))

für f,g in R[a,b] (Riemann-integrierbarer Funktionenraum)

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TESTE DEIN WISSEN

Umrechnung ck in ak und bk

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TESTE DEIN WISSEN

ak = ck + c_-k und bk = i(ck - c_-k)

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TESTE DEIN WISSEN

Def Skalarprodukt

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TESTE DEIN WISSEN

Symmetrie/Hermitesch <v,u> = conjugate(<u,v>)

Bilinearität/Sesquilinearität

Positivdefinitheit <v,v> ≥ 0; <v,v>=0 <=> v=0

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TESTE DEIN WISSEN

Def (fn)n konv. gleichmäßig gegen f in D

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TESTE DEIN WISSEN

fa ε>0 ex N>0  mit |fn(x)-f(x)| < ε fa n>=N, x in D

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TESTE DEIN WISSEN

Def Funktionenraum

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TESTE DEIN WISSEN

C[a,b] = {f: [a,b]->R, f stetig}

mit ||f||∞ normierter VR

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TESTE DEIN WISSEN

Def Normeigenschaften

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TESTE DEIN WISSEN

Definitheit: ||x|| = 0 => x=0

Homogenität: ||ax|| = |a|*||x||

Dreiecksugl: ||x+y|| ≤ ||x||+||y||

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TESTE DEIN WISSEN

Grenzfunktion gleichmäßiger Konvergenz, stetig?

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TESTE DEIN WISSEN

gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen ist stetig

(fn)n mit fn stetig fa n und glm. konv. gg f => f stetig in D

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TESTE DEIN WISSEN

Konvergenz von Reihen von Funktionen

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TESTE DEIN WISSEN

fn stetig, Reihe ∑fn glm konv., dann

∑ integral fn(x) = integral ∑fn(x)

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TESTE DEIN WISSEN

Def Integration Komplexer Funktionen

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TESTE DEIN WISSEN

integral f(x) = integral Re(f(x)) + i*integral Im(f(x))

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TESTE DEIN WISSEN

||f||∞ und gleichmäßige Konvergenz

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TESTE DEIN WISSEN

D=[a,b], f stetig:

(fn)n konv glm gg f <=> ||fn-f||∞ -> 0, n ->∞  

(fn)n konv glm auf D <=> Cauchy-Kriterium: fa ε>0 ex N mit fa n,m>N:  ||fn-fm||∞

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Beispielhafte Karteikarten für deinen 1. Funktionenfolgen Kurs an der Universität Heidelberg - von Kommilitonen auf StudySmarter erstellt!

Q:

Integration von Potenzreihen

A:

p=∑an(x-x0)^n mit rho>0 =>

p kov. glm. in [x0-r,x0+r] für 0<r<rho, für [a,b] sset ]x0-rho,x0+rho[:

integral(a bis b) p= ∑an/(n+1)(x-x0)^(n+1)  |(a bis b)

Q:

Vollständigkeit vom Funktionenraum C[a,b]

A:

C[a,b] ist vollständig bzgl gleichmäßiger Konverg., dh jede cauchyfolge aus C[a,b] besitzt Limes in C[a,b]

Q:

Def Sesquilinearform + Funktionenraum

A:

(f,g) = integral (a bis b) f(x)*conjugate(g(x))

für f,g in R[a,b] (Riemann-integrierbarer Funktionenraum)

Q:

Umrechnung ck in ak und bk

A:

ak = ck + c_-k und bk = i(ck - c_-k)

Q:

Def Skalarprodukt

A:

Symmetrie/Hermitesch <v,u> = conjugate(<u,v>)

Bilinearität/Sesquilinearität

Positivdefinitheit <v,v> ≥ 0; <v,v>=0 <=> v=0

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Q:

Def (fn)n konv. gleichmäßig gegen f in D

A:

fa ε>0 ex N>0  mit |fn(x)-f(x)| < ε fa n>=N, x in D

Q:

Def Funktionenraum

A:

C[a,b] = {f: [a,b]->R, f stetig}

mit ||f||∞ normierter VR

Q:

Def Normeigenschaften

A:

Definitheit: ||x|| = 0 => x=0

Homogenität: ||ax|| = |a|*||x||

Dreiecksugl: ||x+y|| ≤ ||x||+||y||

Q:

Grenzfunktion gleichmäßiger Konvergenz, stetig?

A:

gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen ist stetig

(fn)n mit fn stetig fa n und glm. konv. gg f => f stetig in D

Q:

Konvergenz von Reihen von Funktionen

A:

fn stetig, Reihe ∑fn glm konv., dann

∑ integral fn(x) = integral ∑fn(x)

Q:

Def Integration Komplexer Funktionen

A:

integral f(x) = integral Re(f(x)) + i*integral Im(f(x))

Q:

||f||∞ und gleichmäßige Konvergenz

A:

D=[a,b], f stetig:

(fn)n konv glm gg f <=> ||fn-f||∞ -> 0, n ->∞  

(fn)n konv glm auf D <=> Cauchy-Kriterium: fa ε>0 ex N mit fa n,m>N:  ||fn-fm||∞

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