Stochi | 1 • 2 • 3 an der Universität Hamburg

CitySTADT: Hamburg

CountryLAND: Deutschland

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Wie wird in Definition 2.1 ein diskreter W'raum angegeben?

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Wie hängt das Maß und die Zähldichte im diskreten zusammen?

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Wie werden in Satz 2.2 diskrete W'maße charakterisiert? Seien Ω abzählbar und A = Pot(Ω):

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Was ist die grundlegende Frage von Kapitel 1?

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Wie ist die σ-Algebra in 1.6 definiert?

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Was sind die Eigenschaften von σ-Algebren?

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Was besagt der Satz 1.9 zum Erzeuger?

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Wie ist in 1.11 die Produkt - σ - Algebra definiert?

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Was sind Eigenschaften von W'maßen? (i) - (iii)

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Was gilt mit Maßen für eine Folge von Ereignissen?

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Was besagt das Lemma 1.19 von Borel-Cantelli 1. Teil?

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Was ist die Grundlegende Frage von Kapitel 2?

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Wie wird in Definition 2.1 ein diskreter W'raum angegeben?
Ω abzählbar und Skript-A = Pot(Ω)

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Wie hängt das Maß und die Zähldichte im diskreten zusammen?
Man kann das W’maß stets durch den stochastischen Vektor eindeutig angeben

Stochi | 1 • 2 • 3

Wie werden in Satz 2.2 diskrete W'maße charakterisiert? Seien Ω abzählbar und A = Pot(Ω):
(i) Ist P ein W’maß auf (Ω, A) mit stoch‘ Vektor (P({ω}))ω∈Ω, so gilt

P({ω}) ≥ 0 für alle ω und
Σ_ω∈Ω P({ω}) = 1.

(ii) Ist umgekehrt (pω)ω∈Ω ∈ IR^Ω mit
pω ≥ 0 für alle ω und
Σ_ω∈Ω Pω = 1.

so ex. ein eindeutig bestimmtes W’maß P auf (Ω, Pot(Ω)) mit stoch‘ Vektor (pω)ω∈Ω. Dieses ist gg. durch

P(A) = Σ_ω∈A pω für alle A ∈ Pot(Ω).

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Was ist die grundlegende Frage von Kapitel 1?
Wie beschreibt man Zufallsexperimente in der Sprache der Mathematik?

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Wie ist die σ-Algebra in 1.6 definiert?
Sei Ω = ∅. 𝒜 ⊆ Pot(Ω) heißt σ-Algebra, falls

• 𝒜 nicht = ∅,
• ∀A ∈ 𝒜 : A^c := Ω A ∈ 𝒜,
• ∀(A_n)_n∈IN ∈ 𝒜^IN : U_n∈IN A_n ∈ 𝒜

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Was sind die Eigenschaften von σ-Algebren?
Ist 𝒜 ⊆ Pot(Ω) eine σ-Algebra, so gilt

(i) Ω, ∅ ∈ 𝒜,
(ii) ∀A,B ∈ 𝒜 : A ∪ B ∈ 𝒜, A ∩ B ∈ 𝒜, A B ∈ 𝒜.
(iii) ∀(A_n)_n∈IN ∈ 𝒜^IN :
 Schnitte über n∈IN A_n ∈ 𝒜
(iv) ∀(A_n)_n∈N ∈ 𝒜^IN : lim sup A_n ∈ 𝒜

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Was besagt der Satz 1.9 zum Erzeuger?
Sei ℰ ⊆ Pot(Ω) und S = {𝒜 ⊆ Pot(Ω) : A ist σ-Algebra mit ℰ ⊆ 𝒜}. Dann ist

σ(ℰ ) := Schnitt 𝒜∈S 𝒜

eine σ-Algebra, und zwar die kleinste σ-Algebra (bzgl ⊆) die ℰ enthält.

σ(ℰ ) heißt auch die von ℰ erzeugte σ-Algebra und E der Erzeuger von σ(ℰ).

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Wie ist in 1.11 die Produkt - σ - Algebra definiert?
Seien (Ω_i, 𝒜_i), i ∈ I, messbare Räume und Ω = Produkt über i∈I
Ai und ferner A_i = Ω_i für alle bis auf endlich viele i. Dann heißt

Kreuzprodukt 𝒜_i := σ({Z : Z ist Zylindermenge})

die Produkt-σ-Algebra auf Ω

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Was sind Eigenschaften von W'maßen? (i) - (iii)
Sei (Ω, A, P) ein W’raum.
Dann gilt für alle A,B ∈ 𝒜

(i) P(A^c) = 1 −P(A).
(ii) Falls B ⊆ A, so P(A) = P(B) +P(A ∩ B^c).
Insbesondere gilt in diesem Fall P(A) ≥ P(B).
(iii) P(A ∪ B) = P(A) +P(B) − P(A ∩ B) ≤ P(A) +P(B).

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Was gilt mit Maßen für eine Folge von Ereignissen?
(σ-Stetigkeit von unten)
(σ-Stetigkeit von oben)
(σ-Subadditivität).

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Was besagt das Lemma 1.19 von Borel-Cantelli 1. Teil?
Sei (Ω, 𝒜, P) ein W’raum und A1, A2, … ∈ 𝒜 eine Folge von Ereignissen. Dann gilt:

Σ_n∈IN P(A_n) < unendlich impliziert P(lim sup A_n) = 0.

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Was ist die Grundlegende Frage von Kapitel 2?
Wieso vereinfacht sich die Beschreibung von Zufallssituationen, wenn die Menge der möglichen Ergebnisse abzählbar ist?
Gradient

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