Mathematik an der Universität Hamburg

Karteikarten und Zusammenfassungen für Mathematik an der Universität Hamburg

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Beispielhafte Karteikarten für Mathematik an der Universität Hamburg auf StudySmarter:

Aufgabe: Biimplikation als Implikation

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Biimplikation

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Wann ist eine algebraische Struktur (M,*) ein Monoid?

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Was ist eine algebraische Struktur?

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Wann bezeichnet man eine Gruppe als zyklisch? 

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Wann sind Gruppen isomorph bzw. strukturgleich?

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Was sind Permutationsgruppen?

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Was besagt der Satz von Lagrange?

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Was ist die Ordnung eines Gruppenelements? 

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Was ist die Ordnung einer Gruppe?

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Was ist eine Halbgruppe?

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Beispielhafte Karteikarten für Mathematik an der Universität Hamburg auf StudySmarter:

Mathematik

Aufgabe: Biimplikation als Implikation

A <=> B = A=>B und B=>A

Mathematik

Biimplikation

Genau dann, wenn

A <=> B

Mathematik

Wann ist eine algebraische Struktur (M,*) ein Monoid?

  • Assoziativgesetz muss gelten
  • (M,*) muss ein neutrales Element haben

Mathematik

Was ist eine algebraische Struktur?

Eine Menge M zusammen mit endlich vielen endlichstelligen Operationen auf M.

(T, f1,…fn):

T: Trägermenge

f1,…fn: Verknüpfungen

Mathematik

Wann bezeichnet man eine Gruppe als zyklisch? 

Wenn sie mindestens ein Element enthält, aus dem sämtliche Elemente der Gruppe erzeugt werden können

-> In G muss mindestens ein Element der Ordnung |G| existieren

->stets kommutativ (kommutative Gruppen hingegen nicht immer zyklisch)

Mathematik

Wann sind Gruppen isomorph bzw. strukturgleich?

– wenn es zwischen ihrenElementen eine strukturerhaltende, bijektive Abbildung gibt

-> Gruppentafeln müssen in ihrer Struktur übereinstimmen

!! Gruppen müssen gleich viele Elemente der jeweiligen Ordnung besitzen!!

– zyklische Gruppen derselben Ordnung sind stets isomorph

Mathematik

Was sind Permutationsgruppen?

Untergruppe einer symmetrischen Gruppe 

Mathematik

Was besagt der Satz von Lagrange?

Die Mächtigkeit (oder Ordnung) einer Untergruppe teilt stets die Mächtigkeit der Gruppe.

Es sei G eine endliche Gruppe:

-> Ist H eine Untergruppe von G, so ist die Mächtigkeit |H| ein Teiler von |G|

-> Insbesondere teilt die Ordnung eines Element a in G die Mächtigkeit |G| von G.

Mathematik

Was ist die Ordnung eines Gruppenelements? 

die kleinste natürliche Zahl m >0, für die a^m = e gilt (e ist das neutrale Element der Gruppe)

– gibt es keine derartige Zahl m, so hat a unendliche Ordnung

Mathematik

Was ist die Ordnung einer Gruppe?

Die Mächtigkeit von |G| der Trägermenge der Gruppe.

Für endliche Mengen G ist dies einfach die Anzahl der Elemente in G

Mathematik

Was ist eine Halbgruppe?

– algebraische Struktur mit der Trägermenge H und einer zweistelligen Verknüpfung * oder +

-für die Verknüpfung gilt das Assoziativgesetz

Mathematik

Implikation

A => B

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