Lina - 2.2 Ringe und Körper an der Universität Hamburg

Karteikarten und Zusammenfassungen für Lina - 2.2 Ringe und Körper an der Universität Hamburg

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Ring

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Unitärer Ring 

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Kommutativer Ring

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Nullteilerfreier / integer Ring

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Der Restklassenring ist genau dann integer, wenn

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Unterring

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Ringhomomorphismus

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Körper

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Unterkörper

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Schiefkörper

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Z/pZ

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Konstruktion der komplexen Zahlen

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Lina - 2.2 Ringe und Körper

Ring
Menge mit zwei Verknüpfungen
  • Verknüpfung 1 ist abelsche Gruppe
  • Verknüpfung 2 ist assoziativ
  • Distributivgesetz

Lina - 2.2 Ringe und Körper

Unitärer Ring 
Ring mit Einselement 1, sodass 1*a=a*1=a

Lina - 2.2 Ringe und Körper

Kommutativer Ring
Beide Verknüpfungen sind kommutativ (eine sowieso wegen abelsch) 

Lina - 2.2 Ringe und Körper

Nullteilerfreier / integer Ring
Aus a*b=0 muss stets folgen a=0 oder b=0

Lina - 2.2 Ringe und Körper

Der Restklassenring ist genau dann integer, wenn
m eine Primzahl ist

Lina - 2.2 Ringe und Körper

Unterring
  • Teilmenge eines Rings
  • Untergruppe bezüglich der Addition
  • Abgeschlossen bezüglich der Multiplikation
  • Bei unitärer Ringen muss das Einselement identisch sein

Lina - 2.2 Ringe und Körper

Ringhomomorphismus
Abbildung zwischen zwei Ringen für die gilt
  • ¤(a+b) =¤a <+> ¤b
  • ¤(a) <*> ¤(b) = ¤(a*b) 
  • Für unitärer Ringe ist ¤Einselement a = Einselement b

Lina - 2.2 Ringe und Körper

Körper
Menge mit zwei Verknüpfungen
  • Beide abelsche Gruppen, Multiplikation ohne 0
  • Neutrale Elemente
  • Distributivgesetze

Lina - 2.2 Ringe und Körper

Unterkörper
  • Teilmenge eines Körper
  • Unter den Verknüpfung abgeschlossen
  • Unter Inversenbildung abgeschlossen

Lina - 2.2 Ringe und Körper

Schiefkörper
 Multiplikation ist nicht-abelsch, sonst Menge mit 2 Verknüpfungen Ring

Lina - 2.2 Ringe und Körper

Z/pZ
  • P prim
  • Integer Ring
  • Körper
  • P Elemente 
  • Charakteristik p

Lina - 2.2 Ringe und Körper

Konstruktion der komplexen Zahlen
  • R^2, + ist abelsche Gruppe
  • Multiplikation wird definiert als 
x1     y1 := x1y1-x2y2
x2 * y2    x1y2 - x2y1
  • Neutrales Element (1,0)
  • Inverses Element 1/x
  • Assoziativgesetz
  • Distributivgesetz 
 

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