Lina - 2.2 Ringe und Körper an der Universität Hamburg

CitySTADT: Hamburg

CountryLAND: Deutschland

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Unitärer Ring 

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Kommutativer Ring

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Der Restklassenring ist genau dann integer, wenn

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Unterring

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Ringhomomorphismus

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Körper

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Unterkörper

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Schiefkörper

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Z/pZ

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Konstruktion der komplexen Zahlen

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Komplexe Zahlen

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I zw I 

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Lina - 2.2 Ringe und Körper

Unitärer Ring 

Ring mit Einselement 1, sodass 1*a=a*1=a

Lina - 2.2 Ringe und Körper

Kommutativer Ring

Beide Verknüpfungen sind kommutativ (eine sowieso wegen abelsch) 

Lina - 2.2 Ringe und Körper

Der Restklassenring ist genau dann integer, wenn

m eine Primzahl ist

Lina - 2.2 Ringe und Körper

Unterring
  • Teilmenge eines Rings
  • Untergruppe bezüglich der Addition
  • Abgeschlossen bezüglich der Multiplikation
  • Bei unitärer Ringen muss das Einselement identisch sein

Lina - 2.2 Ringe und Körper

Ringhomomorphismus

Abbildung zwischen zwei Ringen für die gilt

  • ¤(a+b) =¤a <+> ¤b
  • ¤(a) <*> ¤(b) = ¤(a*b) 
  • Für unitärer Ringe ist ¤Einselement a = Einselement b

Lina - 2.2 Ringe und Körper

Körper

Menge mit zwei Verknüpfungen

  • Beide abelsche Gruppen, Multiplikation ohne 0
  • Neutrale Elemente
  • Distributivgesetze

Lina - 2.2 Ringe und Körper

Unterkörper
  • Teilmenge eines Körper
  • Unter den Verknüpfung abgeschlossen
  • Unter Inversenbildung abgeschlossen

Lina - 2.2 Ringe und Körper

Schiefkörper

 Multiplikation ist nicht-abelsch, sonst Menge mit 2 Verknüpfungen Ring

Lina - 2.2 Ringe und Körper

Z/pZ
  • P prim
  • Integer Ring
  • Körper
  • P Elemente 
  • Charakteristik p

Lina - 2.2 Ringe und Körper

Konstruktion der komplexen Zahlen
  • R^2, + ist abelsche Gruppe
  • Multiplikation wird definiert als 

x1     y1 := x1y1-x2y2
x2 * y2    x1y2 – x2y1

  • Neutrales Element (1,0)
  • Inverses Element 1/x
  • Assoziativgesetz
  • Distributivgesetz 

 

Lina - 2.2 Ringe und Körper

Komplexe Zahlen

0 = (0,0)
1 = (1,0)
R^2 als Körper der komplexen Zahlen ist komplexe Zahlenebene
Imaginäre Einheit i := (0,1)
x = x1 + ix2

Lina - 2.2 Ringe und Körper

I zw I 

I z I I w I

Gradient

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