Lina - 2.1 Gruppen an der Universität Hamburg

CitySTADT: Hamburg

CountryLAND: Deutschland

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Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe

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Untergruppe

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Triviale Untergruppe

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Gruppenhomomorphimus

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Eigenschaften Gruppenhomomorphismus

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Kern

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Der Kern eines Gruppenhomomorphismus ist 

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Ist ein Gruppenhomomorphismus injektiv, so ist der Kern 

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Restklassen

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Repräsentant

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Addition von Restklassen

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Wohldefinierte Verknüpfung von Äquivalenzklassen

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Lina - 2.1 Gruppen

Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe
  • x+a=b
  • x*a=b
  • (a^-1)^-1
  • (ab) ^-1 =a^-1b^-1

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Untergruppe
  • Nicht leer
  • Unter der Verknüpfung abgeschlossen
  • Unter inverse Bildung abgeschlossen

Lina - 2.1 Gruppen

Triviale Untergruppe

Enthält nur das neutrale Element

Lina - 2.1 Gruppen

Gruppenhomomorphimus

Abbildung von einer Gruppe G mit * nach H mit ° so dass gilt ¢(a*b) =¢a °¢b

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Eigenschaften Gruppenhomomorphismus
  • ¢(e G) = e H
  • ¢(g^-1) = ¢(g) ^-1
  • ¢ bijektiv – > Gruppenisomorphismus mit ¢^-1 : H – > G

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Kern

Kern eine Gruppenhomomorphismus sind die Elemente, die auf das neutrale Element abgebildet werden

Lina - 2.1 Gruppen

Der Kern eines Gruppenhomomorphismus ist 

Eine Untergruppe der Definitionsgruppe

Lina - 2.1 Gruppen

Ist ein Gruppenhomomorphismus injektiv, so ist der Kern 

Das neutrale Element der Definitionsgruppe

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Restklassen

Eine Äquivalenzrelation, bei der die Äquivalenzklassen alle Elemente enthält, die bei einer Division den selben Rest über lassen

Lina - 2.1 Gruppen

Repräsentant

Jedes Element aus einer Äquivalenzklasse kann diese repräsentieren

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Addition von Restklassen

_     _     ___
a + b = a+b

Lina - 2.1 Gruppen

Wohldefinierte Verknüpfung von Äquivalenzklassen

Unabhängig von Repräsentantenwahl

Gradient

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