Analysis

Karteikarten und Zusammenfassungen für Analysis an der Universität Hamburg

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Beispielhafte Karteikarten für Analysis an der Universität Hamburg auf StudySmarter:

Definition Supremumseigenschaft

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nach unten beschränkt (Definition)

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Archimedische Eigenschaft

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Hat Q die Supremumseigenschaft?

Beispielhafte Karteikarten für Analysis an der Universität Hamburg auf StudySmarter:

Infimum (Definition)

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Definition: Supremum

Beispielhafte Karteikarten für Analysis an der Universität Hamburg auf StudySmarter:

Lemma 2.2.5: Sei x, y ∈ R, x > 0, y ≥ 0, n ∈ N. ….

Beispielhafte Karteikarten für Analysis an der Universität Hamburg auf StudySmarter:

Satz 2.2.3

Beispielhafte Karteikarten für Analysis an der Universität Hamburg auf StudySmarter:

Es gibt einen geordneten Körper R der … (welche Eigenschaft? und welcher Unterkörper?)

Beispielhafte Karteikarten für Analysis an der Universität Hamburg auf StudySmarter:

Sei K eine geordneter Körper mit Supremums-Eigenschaft und
sei E ungleich ∅ eine nach unten beschränkte Teilmenge von K. Es gilt:

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Definition: nach oben beschränkt / obere Schranke

Beispielhafte Karteikarten für Analysis an der Universität Hamburg auf StudySmarter:

Wie siehts mit der Beschränkung und Supremum von der Menge {r ∈ Q|r^2 < 2} aus?

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Beispielhafte Karteikarten für Analysis an der Universität Hamburg auf StudySmarter:

Analysis

Definition Supremumseigenschaft

Sei K eine geordneter Körper. Existiert für alle nach
oben beschränkten und nicht-leeren Teilmengen M ⊂ K das Supremum
sup M in K, dann sagen wir K hat die Supremums-Eigenschaft.

Analysis

nach unten beschränkt (Definition)

A ist nach unten beschränkt, wenn es ein m ∈ K gibt, sodass a ≥ m
für alle a ∈ A. In diesem Fall heisst m untere Schranke von A.

Analysis

Archimedische Eigenschaft

Seien x, y ∈ R und x > 0. Dann
gibt es ein n ∈ N, sodass nx > y.

Analysis

Hat Q die Supremumseigenschaft?

Nein

Analysis

Infimum (Definition)

Ein Element s ∈ M heisst größte untere Schranke (oder Infimum) von
A in K, wenn s eine untere Schranke von A ist, und wenn kein x > s
eine untere Schranke
von A ist. In diesem Fall:
s = inf A .

Analysis

Definition: Supremum

Ein Element S ∈ K heisst kleinste obere Schranke (oder Supremum)
von A in K, wenn S eine obere Schranke von A ist, und wenn kein
x < S eine obere Schranke von A ist. In diesem Fall:
S = supA

Analysis

Lemma 2.2.5: Sei x, y ∈ R, x > 0, y ≥ 0, n ∈ N. ….

(i) Wenn yn < x, dann gibt es ein reelles ε > 0, sodass auch (y + ε)n < x.
(ii) Wenn yn > x, dann gibt es ein reelles ε > 0, sodass auch (y − ε)n > x.

Analysis

Satz 2.2.3

Seien x, y ∈ R und x < y. Dann gibt es ein q ∈ Q mit x < q < y.

Analysis

Es gibt einen geordneten Körper R der … (welche Eigenschaft? und welcher Unterkörper?)

(i) die Supremums-Eigenschaft hat, und
(ii) den Körper Q als Unterkörper enthält.

Analysis

Sei K eine geordneter Körper mit Supremums-Eigenschaft und
sei E ungleich ∅ eine nach unten beschränkte Teilmenge von K. Es gilt:

(i) inf E existiert in K,
(ii) Sei U die Menge der unteren Schranken für E. Dann inf E = supU.

Analysis

Definition: nach oben beschränkt / obere Schranke

A ist nach oben beschränkt, wenn es ein M ∈ K gibt, sodass a ≤ M für
alle a ∈ A. In diesem Fall heisst M obere Schranke von A.

Analysis

Wie siehts mit der Beschränkung und Supremum von der Menge {r ∈ Q|r^2 < 2} aus?

Satz 2.1.10. Die Menge {r ∈ Q|r^2 < 2} ist nach oben beschränkt, aber hat
kein Supremum in Q.

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