Ana I | Kapitel 1 an der Universität Hamburg

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Surjektivität

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Injektivität

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Bijektivität

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Anzahl der Anordnungen

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SATZ Potenzmenge ist nicht gleichmächtig

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Potenzmenge

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Mächtigkeit

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Umkehrfunktion

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Existenz der Inversen

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Hintereinanderausführung

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Identität

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Funktion

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Ana I | Kapitel 1

Surjektivität
Eine Funktion f: X -> Y heißt surjektiv, wenn B(f) = Y

Ana I | Kapitel 1

Injektivität
Eine Funktion f c X x Y oder auch f: X -> Y heißt injektiv, wenn aus F(x1) = f(x2) folgt x1 = x2

Ana I | Kapitel 1

Bijektivität
Ist eine Funktion sowohl injektiv wie auch surjektiv, so sagen wir, die Funktion ist bijektiv oder auch eineindeutig

Ana I | Kapitel 1

Anzahl der Anordnungen
1. Die Anzahl aller Anordnungen von n Elementen ist n!

2. Die Anzahl der bijektiven Abbildungen einer Menge mit n Elementen in sich ist n!.

Ana I | Kapitel 1

SATZ Potenzmenge ist nicht gleichmächtig
Es sei M eine Menge, dann gibt es keine Bijektion M -> P (M)

Ana I | Kapitel 1

Potenzmenge
Sei M eine Menge, die Menge der Teilmengen von M wird als Potenzmenge bezeichnet und mit dem Symbol P(m) belegt.

Ana I | Kapitel 1

Mächtigkeit
1. Gibt es eine bijektive Abbildung zwischen zwei Mengen X, Y, so sagt man, die beiden Mengen haben die gleiche Mächtigkeit

Ana I | Kapitel 1

Umkehrfunktion
Die Funktion g, deren Existenz wir eben bewiesen haben, heißt Umkehrfunktion von f. Dies ist ein Spezialfall der inversen Relation.

Ana I | Kapitel 1

Existenz der Inversen
Ist eine Funktion f c X x Y injektiv, ao existiert eine Funktion g: B(f) -> D(f) mit der Eigenschaft gof = Id und fog = id

Ana I | Kapitel 1

Hintereinanderausführung
Sind f c X x Y, g c Y x Z Funktionen. Dann ist die Hintereinanderausführung gof definiert als

gof = { (x,z) e X x Z | Ex y e Y mit ((x,y) e f und (y,z) e g)}

Wir schreiben dafür auch in vertrauterer Schreibweise (gof) (x) = g(f(x))

Ana I | Kapitel 1

Identität
Ist X eine Menge, D c X eine Teilmenge, so nennen wir die Funktion f c X x X mit D(f) = D die identische Abbildung oder auch Identität, falls

f = { (x,x) | x e D}

ist oder anders ausgedrückt, wenn f(x) = x für alle x e D ist.

Ana I | Kapitel 1

Funktion
Eindeutige Relationen werden als Funktionen bezeichnet.

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