Ana I | Kapitel 1 an der Universität Hamburg

CitySTADT: Hamburg

CountryLAND: Deutschland

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Eineindeutige Relation

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Vereinigung

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Disjunkte Mengen

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Teilmenge

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Leere Menge

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Schnitt

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Kartesisches Produkt

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Relation

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Transitivität einer Relation

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Reflexivität einer Relation

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SATZ: Zerlegung in Klassen äquivalenter Elemente

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Funktion

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Ana I | Kapitel 1

Eineindeutige Relation
Eine Relation R c X x Y wird als

1. eindeutig bezeichnet, wenn zu jedem x e X höchstens ein Element y e Y existiert mit (x,y) e R und

2. eineindeutig oder eins-zu-eins bezeichnet, wenn R und R^-1 eindeutig sind

Ana I | Kapitel 1

Vereinigung
Ist die Gesamtheit der Elemente, die in mindestens einer der beiden Mengen liegen:

M1 u M2 = { x | x e M1 oder x e M2}

Ana I | Kapitel 1

Disjunkte Mengen
Zwei Mengen M1, M2 nennt man disjunkt, wenn M1 n M2 = leere Menge ist.

Ana I | Kapitel 1

Teilmenge
1:. Ist M eine Menge, so heißt eine Menge N Teilmenge von M, wenn
aus a e N folgt a e M. Ist N eine Teilmenge von M, so schreiben
wir N Teilmenge M. Anders ausgedrückt besagt dies, dass jedes Element in
N auch in M ist.

Ana I | Kapitel 1

Leere Menge
Enthält eine Menge keine Elemente, so sprechen wir von der leeren Menge
und schreiben dafür ÿ.

Ana I | Kapitel 1

Schnitt
Der Schnitt zweier Mengen ist die Gesamtheit der Elemente, die in beiden Mnegen liegen:

M1 n M2 = {x | x e M1 und x e M2}

Ana I | Kapitel 1

Kartesisches Produkt
Es seien M1, M2 zwei Mengen, das kartesische Produkt M1 x M2 ist die Menge aller geordneten Paare (a,b) mit a e M1 und b e M2, in Zeichen

M1 x M2 = { (a,b) | a e M1, b e M2}

Geordnet bedeutet dabei, dass die Reihenfolge beachtet werden muss, (a,b) nicht gleich (b,a), falls b ungleich a, wobei zu beachten ist, dass die Schreibweise (b,a) i.A. nicht sinnvoll ist.

Ana I | Kapitel 1

Relation
Eine Teilmenge R von X x Y heißt Relation. Die Menge

D(R) = {x e X | Ex. y e Y mit (x,y) e R}

wird als Definitionsbereich D(R) der Relation R bezeichnet.

B(R) = {y e Y| es gibt ein x e X mit (x,y) e R}

als Bildbereich B(R) der Relation R. Ist (x,y) e R, so sagen wir x,y stehen in Relation (bezüglich R) zueinander, wir schreiben dafür x~r y.

Die inverse Relation, in Zeichen R^-1 Teilmenge von Y x X ist die Menge

R^-1= {(y,x) e YxX | (x,y) e R}

Ana I | Kapitel 1

Transitivität einer Relation
Falls aus (x,y) e R und (y,z) e R folgt (x,z) e R

Ana I | Kapitel 1

Reflexivität einer Relation
Für jedes x e X ist das Element (x,x) e R

Ana I | Kapitel 1

SATZ: Zerlegung in Klassen äquivalenter Elemente
Ist M eine Menge mit einer Äquivalenzrelation ~R, so gibt es ein System S von Teilmengen von M, so dass gilt:

1. ´Vereinigung aller C = M
2. Sind C1, c2 e S => C1 n C2 = Leer oder C1 = C2
3. für C e S und x,y e C folgt x~r y
4. sind C1,C2 e S und ex. x e C1, y e C2 mit x~Ry, so gilt C1=C2

Ana I | Kapitel 1

Funktion
Eindeutige Relationen werden als Funktionen bezeichnet.
Gradient

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