Ana I | Kapitel 1 an der Universität Hamburg

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Existenz der Inversen

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Hintereinanderausführung

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Identität

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Bijektivität

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Surjektivität

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Injektivität

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Funktion

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Eineindeutige Relation

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SATZ: Zerlegung in Klassen äquivalenter Elemente

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Äquivalenzrelation

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Ordnungsrelation

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Umkehrfunktion

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Ana I | Kapitel 1

Existenz der Inversen
Ist eine Funktion f c X x Y injektiv, ao existiert eine Funktion g: B(f) -> D(f) mit der Eigenschaft gof = Id und fog = id

Ana I | Kapitel 1

Hintereinanderausführung
Sind f c X x Y, g c Y x Z Funktionen. Dann ist die Hintereinanderausführung gof definiert als

gof = { (x,z) e X x Z | Ex y e Y mit ((x,y) e f und (y,z) e g)}

Wir schreiben dafür auch in vertrauterer Schreibweise (gof) (x) = g(f(x))

Ana I | Kapitel 1

Identität
Ist X eine Menge, D c X eine Teilmenge, so nennen wir die Funktion f c X x X mit D(f) = D die identische Abbildung oder auch Identität, falls

f = { (x,x) | x e D}

ist oder anders ausgedrückt, wenn f(x) = x für alle x e D ist.

Ana I | Kapitel 1

Bijektivität
Ist eine Funktion sowohl injektiv wie auch surjektiv, so sagen wir, die Funktion ist bijektiv oder auch eineindeutig

Ana I | Kapitel 1

Surjektivität
Eine Funktion f: X -> Y heißt surjektiv, wenn B(f) = Y

Ana I | Kapitel 1

Injektivität
Eine Funktion f c X x Y oder auch f: X -> Y heißt injektiv, wenn aus F(x1) = f(x2) folgt x1 = x2

Ana I | Kapitel 1

Funktion
Eindeutige Relationen werden als Funktionen bezeichnet.

Ana I | Kapitel 1

Eineindeutige Relation
Eine Relation R c X x Y wird als

1. eindeutig bezeichnet, wenn zu jedem x e X höchstens ein Element y e Y existiert mit (x,y) e R und

2. eineindeutig oder eins-zu-eins bezeichnet, wenn R und R^-1 eindeutig sind

Ana I | Kapitel 1

SATZ: Zerlegung in Klassen äquivalenter Elemente
Ist M eine Menge mit einer Äquivalenzrelation ~R, so gibt es ein System S von Teilmengen von M, so dass gilt:

1. ´Vereinigung aller C = M
2. Sind C1, c2 e S => C1 n C2 = Leer oder C1 = C2
3. für C e S und x,y e C folgt x~r y
4. sind C1,C2 e S und ex. x e C1, y e C2 mit x~Ry, so gilt C1=C2

Ana I | Kapitel 1

Äquivalenzrelation
Wir betrachten eine Menge X. Eine Äquivalenzrelation auf X ist eine Relation auf X x X, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Ana I | Kapitel 1

Ordnungsrelation
Eine Relation R c X x X heißt Ordnungsrelation (auf X), falls R reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist.

Ist R eine Ordnungsrelation, so schreiben wir für (x,y) e X x X oft x <= y statt x ~R y. Wir nennen dann das Paar (X,<=) eine geordnete Menge.

Ana I | Kapitel 1

Umkehrfunktion
Die Funktion g, deren Existenz wir eben bewiesen haben, heißt Umkehrfunktion von f. Dies ist ein Spezialfall der inversen Relation.

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