Ana - 5 Riemann Integral an der Universität Hamburg

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Charakterisierung integrierbarer Funktionen

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Ordnungsrelation für Klassen beschränkter Funktionen

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Eigenschaften des Integrals

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Integrierbarkeit

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Ober- und Unterintegral

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Integral für Klassen

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Schranken für Integrale beschränkter Funktionen

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Integration komplexer Funktionen

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Vertauschen von Integralgrenzen

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Weitere Eigenschaften von Intervallen

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Integrierbar Funktionen bilden einen Vektorraum

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Äquivalenz beschränkter Funktionen

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Ana - 5 Riemann Integral

Charakterisierung integrierbarer Funktionen

Eine Funktion ist integrierbar, wenn das Oberintegral dem Unterintegral entspricht

Ana - 5 Riemann Integral

Ordnungsrelation für Klassen beschränkter Funktionen

Wenn für alle Werte im Intervall alle bis auf endlich viele gilt f(x) <= g(x) 

Ana - 5 Riemann Integral

Eigenschaften des Integrals
  1. Intervall geteilt, Partialintegrale addiert Genen ganzes 
  2. Inetral (f+g) (x) dx kann in I f + I g geteilt werden
  3. Faktor rausziehen
  4. f+ sind positive Integrale, f- negative

Ana - 5 Riemann Integral

Integrierbarkeit

Ist eine Funktion nach Riemann integrierbar (O U gleich oderEpsilonumgebung) dann gilt für das Integral gleich des Oberintegrals und gleich der Grenzwert der Riemannsumme

Ana - 5 Riemann Integral

Ober- und Unterintegral

Unterintegral: supremum aller Integrale eine Treppenfunktion, die kleiner ist als die Funktion
Oberintegral: infimum – ll- die größer ist als die Funktion

Ana - 5 Riemann Integral

Integral für Klassen

Integral zwischen a und b einer Klasse ist die Reimannsumme der Funktion zu einer Zerlegung

Ana - 5 Riemann Integral

Schranken für Integrale beschränkter Funktionen

Integrierbar Funktion mit Schranke M>0
I Integral I <= Integral IfI <= M(b-a) 

Ana - 5 Riemann Integral

Integration komplexer Funktionen

Eine komplexe Funktion ist integrierbar, wenn es der Realteil und der Imaginärteil sind.
Integral = Integral Realteil + i Integral Imaginärteil

Ana - 5 Riemann Integral

Vertauschen von Integralgrenzen

Integral wird negativ, wenn die Grenzen gegeneinander vertauscht werden

Ana - 5 Riemann Integral

Weitere Eigenschaften von Intervallen
  1. IfI^P für p>1 ist auch integrierbar
  2. f*g ist auch integrierbar

Ana - 5 Riemann Integral

Integrierbar Funktionen bilden einen Vektorraum

Schörkel R([a, b], R) = Klassen einer integrierbarer Funktion
Ist reeller Vektorraum

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Äquivalenz beschränkter Funktionen

Zwei Funktionen sind Äquivalent, wenn es ein Z im Intervall gibt, sodass für alle x aus dem Intervall ohne Z der Abstand zwischen den Funktionswerte von f und g gleich 0 ist

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