Ana - 4 Funktionen und Stetigkeit an der Universität Hamburg

Karteikarten und Zusammenfassungen für Ana - 4 Funktionen und Stetigkeit an der Universität Hamburg

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Offene Menge

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Abgeschlossene Menge

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Eigenschaften offener Mengen

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Abschluss

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Abschluss einer abgeschlossenen Menge

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Häufungspunkte und Abschluss

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Offene Üderdeckung

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Kompakte Menge

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Heine-Borel

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Lokale Stetigkeit

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Globale Stetigkeit

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Kontraktionen

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Ana - 4 Funktionen und Stetigkeit

Offene Menge
Wenn ein Element der Menge nur von Elemente aus der Menge umgeben ist ; kein Element liegt auf dem Rand

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Abgeschlossene Menge
Das Komplement der abgeschlossenen Menge ist eine offene Menge

Ana - 4 Funktionen und Stetigkeit

Eigenschaften offener Mengen
  1. X ist eine offene Teilmenge
  2. { } ist eine offene Teilmenge
  3. Jeder Vereinigung von Familien offenen Mengen ist offen
  4. Endliche Schnitte offener Mengen sind offen

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Abschluss
Der Abschluss A(Strich drüber) ist der Schnitt aller abgeschlossenen Teilmengen von A

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Abschluss einer abgeschlossenen Menge
Ist die Menge selbst

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Häufungspunkte und Abschluss
  • Für eine Folge deren Elemente alle in einer Teilmenge A eines metrischen Raumes liegen ist der Häufungspunkt der Folge der Abschluss
  • Der Abschluss einer Teilmenge mit Folge ist die Vereinigung aus der Menge Folge und dem Häufungspunkt
  • Die Menge der Häufungspunkte ist der Schnitt aller Abschlüsse

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Offene Üderdeckung
Eine Familie von offenen Mengen heißt offene Überdeckung von einer Teilmenge K, wenn Teilmenge der Vereinigung von offenen Mengen ist

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Kompakte Menge
Eine Menge ist kompakt, wenn aus jeder offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung ausgewählt werden kann
Ist abgeschlossen

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Heine-Borel
In R oder C ist eine Teilmenge genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist

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Lokale Stetigkeit
Eine Abildung zwischen zwei metrischen Räumen ist in einem Punkt stetig, wenn aus dem Abstand zwischen zwei Y-Werten der kleiner ist als ß folgt, dass der Abstand zwischen zwei x-Werten kleiner ist als E (für jedes E existiert ein ß) 

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Globale Stetigkeit
Eine Abbildung ist stetig, wenn sie in jedem Punkt stetig ist

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Kontraktionen
Abbildung von einem metrischen Raum in sich selbst
Abstand zwischen den y-Werten ist kleiner gleich der Abstand zwischen den X Werten skaliert mit einer positiven Zahl

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