Ana - 4 Funktionen und Stetigkeit an der Universität Hamburg

CitySTADT: Hamburg

CountryLAND: Deutschland

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Funktionenräume

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Gleichmäßige Konvergenz

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Stetige Bilder von Intervallen

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Kontinuierlicher Grenzwert

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Abgeschlossene Menge

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Eigenschaften offener Mengen

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Abschluss

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Abschluss einer abgeschlossenen Menge

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Häufungspunkte und Abschluss

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Offene Üderdeckung

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Kompakte Menge

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Offene Menge

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Ana - 4 Funktionen und Stetigkeit

Funktionenräume

C(X, R) oder C(X,C)
Räume stetiger Funktionen

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Gleichmäßige Konvergenz

Epsilon

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Stetige Bilder von Intervallen

Ist f eine stetige Funktion auf einem Intervall, so ist f(I) ein Intervall

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Kontinuierlicher Grenzwert

Wenn für jede Folge aus dem Definitionsbereich sich der Grenzwert bei einem Wert einpendeln, und die Abbildung der Folge auf den selben Grenzwert einpendeln, so handelt es sich um den kontinuierlichen Grenzwert 

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Abgeschlossene Menge

Das Komplement der abgeschlossenen Menge ist eine offene Menge

Ana - 4 Funktionen und Stetigkeit

Eigenschaften offener Mengen
  1. X ist eine offene Teilmenge
  2. { } ist eine offene Teilmenge
  3. Jeder Vereinigung von Familien offenen Mengen ist offen
  4. Endliche Schnitte offener Mengen sind offen

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Abschluss

Der Abschluss A(Strich drüber) ist der Schnitt aller abgeschlossenen Teilmengen von A

Ana - 4 Funktionen und Stetigkeit

Abschluss einer abgeschlossenen Menge

Ist die Menge selbst

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Häufungspunkte und Abschluss
  • Für eine Folge deren Elemente alle in einer Teilmenge A eines metrischen Raumes liegen ist der Häufungspunkt der Folge der Abschluss
  • Der Abschluss einer Teilmenge mit Folge ist die Vereinigung aus der Menge Folge und dem Häufungspunkt
  • Die Menge der Häufungspunkte ist der Schnitt aller Abschlüsse

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Offene Üderdeckung

Eine Familie von offenen Mengen heißt offene Überdeckung von einer Teilmenge K, wenn Teilmenge der Vereinigung von offenen Mengen ist

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Kompakte Menge

Eine Menge ist kompakt, wenn aus jeder offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung ausgewählt werden kann
Ist abgeschlossen

Ana - 4 Funktionen und Stetigkeit

Offene Menge

Wenn ein Element der Menge nur von Elemente aus der Menge umgeben ist ; kein Element liegt auf dem Rand

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