Ana - 3 Reihen an der Universität Hamburg

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Umordnung

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Charakterisierung der alternierende Reihe

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Allgemeiner Umordnungssatz

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Konvergenz absolut konvergenter Reihen

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Absolute Konvergenz von Reihen

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Leibnitz-Kriterium

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Quotientenkriterium

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Majorantenkriterium

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Umordnungssatz

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Invarianz gegen Umordnung 

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Harmonische Reihe

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Alternierende Reihe

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Ana - 3 Reihen

Umordnung

aß(j) ist eine mit der Bijektion ß geordnete Folge der Folge aj

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Charakterisierung der alternierende Reihe

Wenn eine Folge B positiver reeller Zahlen existiert mit ak = sgn(a1) (-1)^(k+1)bk

Ana - 3 Reihen

Allgemeiner Umordnungssatz

??? 

Ana - 3 Reihen

Konvergenz absolut konvergenter Reihen

Eine absolut konvergente Reihe Fehler oder komplexer Zahlen ist konvergent

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Absolute Konvergenz von Reihen

Eine Reihe mit einer zugrundeliegenden Folge reeller oder komplexer Zahlen ist absolut konvergent, wenn die Summe über den Betrag der Folgenglieder konvergent ist

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Leibnitz-Kriterium

Sei ak eine alternierende Reihe, b Monoton und der Grenzwert von ak=0, so ist die Reihe konvergent

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Quotientenkriterium

Ab einem n ist der Quotient aus Folgeglied/Glied kleiner gleich ß mit 0<ß<1

Ana - 3 Reihen

Majorantenkriterium

Man nimmt eine konvergente, positive Reihe. Gilt für eine Folge, dass alle Elemente zn kleiner sind als an, so konvergiert auch zn

Ana - 3 Reihen

Umordnungssatz

Ist eine Reihe konvergent aber nicht absolut konvergent, dann existiert zu jedem A eine Bijektion, dass die umgeordnete Partialsummenfolge gleich A ist

Ana - 3 Reihen

Invarianz gegen Umordnung 

Der Wert einer absolut konvergenten Reihe ist invariant gegen Umordnung

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Harmonische Reihe

Summe von k=1 bis unendlich über 1/k
Divergent

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Alternierende Reihe

Eine Reihe aj heißt alternierende, wenn für alle Glieder gilt: aj *aj+1 <0

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