Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen an der Universität Hamburg

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Konvergenz komplexer Folgen

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(z1, z2) - > I z1 - z2 I ist

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Betragsfunktion in C

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Rechenregeln in C

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Komplex konjugiert

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Komplexe Zahlenebene

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Limessuperior / Limesinferior

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Konvergenz monotoner Folgen in R erweitert

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Konvergenz gegen Unendlich

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Erweiterte reelle Zahlen

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Supremum/Infimum der leeren Menge

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Infimum

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Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen

Konvergenz komplexer Folgen

Eine Folge in C ist konvergent gegen z0, wenn die Folge der Realteil Elemente gegen den Realteil von z0 und die Imaginärteil Elemente gegen den Imaginärteil von z0 konvergieren

Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen

(z1, z2) - > I z1 - z2 I ist

Eine Metrik auf C

Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen

Betragsfunktion in C
  • Betrag ist 0 oder positiv
  • I z1 * z2 I= Iz1I * Iz2I
  • Iz1 + z2I <= Iz1I + Iz2I

Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen

Rechenregeln in C
  • Doppelt komplex konjugiert hebt sich auf
  • Komplexe Konjugation einer Summe = Addition komplex konjugierter Elemente 
  • Gleich für Multiplikation
  • Re(z) = 1/2 (z+z kk) 
  • Im(z) = 1/2i (z – z kk) 

Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen

Komplex konjugiert

Z = x+iy
_
Z = x+i(-y) 

Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen

Komplexe Zahlenebene
  • Addition komponentenweise
  • Multiplikation

x1      y1 :=x1x2 – y1y2
x2 * y2    x1y2 + x2y1

  • (x, y) = x+iy
  • Realteil
  • Imaginärteil 

Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen

Limessuperior / Limesinferior

Erweiterte reelle Zahl limes gegen unendlich von dem inf oder sup einer Folge

Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen

Konvergenz monotoner Folgen in R erweitert

Jede reelle, monotone Folge konvergiert in R erweitert

Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen

Konvergenz gegen Unendlich

Divergent Folge konvergiert in R erweitert gegen unendlich oder – unendlich, wenn zu jeder positiven Schranke ein n existiert, ab dem alle folgeelemente größer sind als diese Schranke
Umgekehrt für – unendlich 

Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen

Erweiterte reelle Zahlen

R u unendlich u – unendlich

Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen

Supremum/Infimum der leeren Menge

Sup { } = -unendlich
Inf { } = unendlich

Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen

Infimum

Inf M
Größte untere Schranke

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