Testtheorie an der Universität Giessen

• Die Antworten der Personen sind insofern stochastisch, als die Personen zufällig ausgewählt werden. Dies will der englische
Ausdruck random sampling interpretation zum Ausdruck bringen.
• Liegt eine zufällige Auswahl von Personen einer bestimmten Fähigkeit 𝜃0 vor, so verhält sich eine einzelne Person nicht inhärent
stochastisch.
• In einem Leistungstest kennt die Person die Antwort auf die Frage oder sie kennt die Antwort nicht.
• Über die Personen der Fähigkeit 𝜃𝜃0 hinweg sind die Antworten aber sehr wohl zufällig, da nicht bekannt ist, wer korrekt und wer nicht
korrekt antwortet.

• Die Wahrscheinlichkeit der Itemcharakteristik 𝜋𝑗 (𝜃) beschreibt die Wahrscheinlichkeit einer Person der Fähigkeit 𝜃.
• Bezeichnet man die Fähigkeit der 𝑖-ten Person mit 𝜃𝑖, so gilt aus der intrasubjektiven Perspektive
𝜋𝑗 (𝜃𝑖) = 𝑃(𝑦𝑖𝑗=1|θ𝑖).
• Die Itemcharakteristik beschreibt also die individuelle Wahrscheinlichkeit der 𝑖-ten Person.
• Die Antwort der Person auf ein Item ist inhärent stochastisch

• Die Item Response Theorie untersucht das Antwortmuster einer Person und versucht daraus Schlussfolgerungen über die Fähigkeit zu ziehen.
• Jedes Item ist dabei durch Parameter charakterisiert.
• Die ersten Modelle wurden in den 1940er Jahren entwickelt.
• Sie verwendeten zwei Parameter pro Item
• Sie beschreiben Schwierigkeit und Trennschärfe des Items.

• Gelegentlich spricht man auch von Probabilistischer Testtheorie oder Neuer Testtheorie.
• Die Item Response Theorie (IRT) stellen die Antwort einer Person auf
die Testitems in den Mittelpunkt.
• Dies ist der entscheidende Unterschied zur Klassischen Testtheorie, die von einem Testwert ausgeht, der bereits eine Zusammenfassung der Antworten auf die Testfragen ist.

• Die drei wichtigsten Testmodelle besitzen entweder einen, zwei oder
drei Parameter.
• Dies sind Modelle für dichotome Items.
• Den drei Modellen ist gemeinsam, dass ein Parameter die Schwierigkeit des Items charakterisiert.
• Das berühmt Modell von Rasch besitzt nur einen Parameter pro Item.
• Es ist deshalb besonders einfach.

• Ein Item, das die obige Eigenschaft besitzt, hätte eine perfekte Trennschärfe (Guttman Skalierung).
• Das Item kann die Personen perfekt in zwei Gruppen aufteilen.
‒ In der ersten Gruppen befinden sich alle Personen, deren Fähigkeit kleiner als
𝑏𝑖 ist.
‒ Die andere Gruppe umfasst die Personen, deren Fähigkeit größer als 𝑏𝑖 ist.

• Die Information eines einzigen perfekt Trennscharfen Items ist gering.
• Allerdings lässt sich diese Information durch weitere perfekt Trennscharfe Items vergrößern.

• Die mathematische Funktion, die den Zusammenhang von Personenfähigkeit und Antwortwahrscheinlichkeit ausdrückt, wird als
Itemcharakteristik bezeichnet und mit ICC abgekürzt.
• Im deterministischen Modell ist die Itemcharakteristik eine konstante
Funktion, die an einer Stelle (der Schwierigkeit) eine Sprungstelle besitzt.
• Itemcharakteristik des 𝑗-ten Items für das deterministische Modell:
0 falls 𝜃 < 𝑏𝑗
1 falls 𝜃 ≥ 𝑏j

• Um so mehr die Personenfähigkeit die Itemschwierigkeit übertrifft, desto wahrscheinlicher wird eine korrekte Beantwortung des Items.
• Mit anderen Worten, eine Itemcharakteristik des deterministischen Modells sollte durch eine „plausiblere“ Funktion ersetzt werden.
• Plausible Funktionen sollten Sprungstellen vermeiden, d.h. sie sollten stetig sein.
• Einer kleinen Veränderung in der Fähigkeit, sollte einer kleinen Veränderung in der Lösungswahrscheinlichkeit entsprechen.

• Zentrale Frage: Wie kann man aufgrund der Beziehung zwischen Fähigkeit und Schwierigkeit Aussagen über die Antwort der Person machen?
• Zwei Modelltypen:
− Das einfachste Modell ist deterministisch (Guttman Skalierung).
− Realistischer ist die probabilistische Erweiterung des deterministischen
Modells.

• Intersubjektive Interpretation: In der Population der Personen mit Fähigkeit 𝜃 beträgt die Lösungswahrscheinlichkeit des j-ten Items 𝜋𝑗(𝜃) .
• Intrasubjektive Interpretation: Könnte man einer Person mit Fähigkeit 𝜃 beliebig oft das j-te Item – ohne jede Veränderung der Person –
präsentieren, dann entspräche 𝜋𝑗(𝜃) der Lösungswahrscheinlichkeit des Items.
• Englische Begriffe (Holland, 1990):
− Random sampling interpretation = Intersubjektive Interpretation
− Stochastic subject interpretation = Intrasubjektive Interpretation

• Es werden nur monotone Itemcharakteristiken betrachtet.
• Seien zwei Personengruppen mit Fähigkeiten 𝜃1 und 𝜃2 gegeben,
wobei 𝜃1 < 𝜃2 gelten soll.
• In diesem Fall sollte die Wahrscheinlichkeit einer korrekten Lösung des Items in der zweiten Gruppe größer sein.
• Monotonie bedeutet, je höher die Ausprägung einer Fähigkeit (Eigenschaft) ist, desto eher wird ein Item, welches ein Indikator
dieser Fähigkeit ist, gelöst.