Optimierung an der Universität Freiburg Im Breisgau | Karteikarten & Zusammenfassungen

Lernmaterialien für Optimierung an der Universität Freiburg im Breisgau

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Welche Voraussetzungen gelten für streng konvexe Funktionen (bzgl. Extrema) 

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Sie besitzt ein eindeutiges globales Minimum und keine lokalen Minima.

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Was ist ein Minimierer?

Was ist der Minimierer der Funktion x^2 (2<=x<=5)?

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Der Minimierer ist die beste mögliche Lösung aus einer großen Anzahl zulässiger Lösungen.


Für x^2 ist der Minimierer 2

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Woraus besteht ein Optimierungsproblem?

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Einer zulässigen Menge G und einer Zielfunktion f: G --> R

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Welche Voraussetzung gelten für konvexe Funktionen (bzgl. Extrema?)

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Konvexe Funktionen können mehrere globale Minima haben, allerdings keine zusätzlichen lokalen Minima.

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Welche Voraussetzung muss für konvexe Menge gelten?

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Die Verbindungslinie zwischen zwei beliebigen Punkten x, y muss auch in G enthalten sein --> Die Menge ist Konvex

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Was ist eine quasi-konvexe Funktion, und welche Anforderungen gelten (bzgl. Extrema)

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Eine nicht konvexe Funktion, die keine lokalen Minima besitzt heißt quasi konvex

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Was ist eine konvexe Hülle?

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Die Konvexe Hülle einer Menge G ist die kleinste konvexe Menge, die G vollständig enthält.

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Wie steht die Konditionszahl und die Anzahl der Schritte bevor man das Optima erreicht im Zusammenhang?

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TESTE DEIN WISSEN

- höhere Konditionszahl -> mehr Schritte zum Konvergieren

- niedrigere Konditionszahl -> weniger Schritte zum Konvergieren

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TESTE DEIN WISSEN

Wozu ist der Präkonditionierer sinnvoll im Zusammenhang mit CG Verfahren

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Das CG Verfahren wird oft mit einem Präkonditionierer kombiniert, der vorab die Konditionszahl der Matrix reduziert.

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Aus welchen Komponenten besteht das Verfahren für die Wolfe Bedingung?

Erkläre diese kurz.

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  • Bracketing erweitert das Suchintervall bis darin geeignete Schrittweiten garantiert werden können
  • Zooming reduziert das Suchintervall bis eine geeignete Schrittweite gefunden wird (basierend auf Interpolationsverfahren)
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Welche Bedingung(en) braucht man für ein Minimum?

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Notwendige Bedingung für Minimum von f:

f(x) = 0 -> nicht-lineares Gleichungssystem, muss numerisch gelöst werden


wenn f konvex, dann ist dies auch die hinreichende Bedingung

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Was ist das Gradientenverfahren und wozu wird es genutzt?

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iteratives Verfahren, bei dem die Ableitung einer Funktion bestimmt wird, um darüber die Richtung (und Schrittweite), in der das gesuchte Optimum liegt zu bestimmen, und somit dem Optimum näher zu kommen

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Q:

Welche Voraussetzungen gelten für streng konvexe Funktionen (bzgl. Extrema) 

A:

Sie besitzt ein eindeutiges globales Minimum und keine lokalen Minima.

Q:

Was ist ein Minimierer?

Was ist der Minimierer der Funktion x^2 (2<=x<=5)?

A:

Der Minimierer ist die beste mögliche Lösung aus einer großen Anzahl zulässiger Lösungen.


Für x^2 ist der Minimierer 2

Q:

Woraus besteht ein Optimierungsproblem?

A:

Einer zulässigen Menge G und einer Zielfunktion f: G --> R

Q:

Welche Voraussetzung gelten für konvexe Funktionen (bzgl. Extrema?)

A:

Konvexe Funktionen können mehrere globale Minima haben, allerdings keine zusätzlichen lokalen Minima.

Q:

Welche Voraussetzung muss für konvexe Menge gelten?

A:

Die Verbindungslinie zwischen zwei beliebigen Punkten x, y muss auch in G enthalten sein --> Die Menge ist Konvex

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Q:

Was ist eine quasi-konvexe Funktion, und welche Anforderungen gelten (bzgl. Extrema)

A:

Eine nicht konvexe Funktion, die keine lokalen Minima besitzt heißt quasi konvex

Q:

Was ist eine konvexe Hülle?

A:

Die Konvexe Hülle einer Menge G ist die kleinste konvexe Menge, die G vollständig enthält.

Q:

Wie steht die Konditionszahl und die Anzahl der Schritte bevor man das Optima erreicht im Zusammenhang?

A:

- höhere Konditionszahl -> mehr Schritte zum Konvergieren

- niedrigere Konditionszahl -> weniger Schritte zum Konvergieren

Q:

Wozu ist der Präkonditionierer sinnvoll im Zusammenhang mit CG Verfahren

A:

Das CG Verfahren wird oft mit einem Präkonditionierer kombiniert, der vorab die Konditionszahl der Matrix reduziert.

Q:

Aus welchen Komponenten besteht das Verfahren für die Wolfe Bedingung?

Erkläre diese kurz.

A:
  • Bracketing erweitert das Suchintervall bis darin geeignete Schrittweiten garantiert werden können
  • Zooming reduziert das Suchintervall bis eine geeignete Schrittweite gefunden wird (basierend auf Interpolationsverfahren)
Q:

Welche Bedingung(en) braucht man für ein Minimum?

A:

Notwendige Bedingung für Minimum von f:

f(x) = 0 -> nicht-lineares Gleichungssystem, muss numerisch gelöst werden


wenn f konvex, dann ist dies auch die hinreichende Bedingung

Q:

Was ist das Gradientenverfahren und wozu wird es genutzt?

A:

iteratives Verfahren, bei dem die Ableitung einer Funktion bestimmt wird, um darüber die Richtung (und Schrittweite), in der das gesuchte Optimum liegt zu bestimmen, und somit dem Optimum näher zu kommen

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