Numerik

Karteikarten und Zusammenfassungen für Numerik an der Universität Freiburg im Breisgau

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Eigenschaften der Operatornorm

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Wann ist die LU-Zerlegung stabil?

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Mises-Potenzmethode

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l^p-Norm

  • Eigenschaften
  • verschiedene Bsp.

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Iterative Lösungsmethoden

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Verwendung von Gerschgorin Kreisen

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Rayleigh-Quotient

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komplex Diagonalisierbar

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Potenzmethode

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Was ist ein Aufwand?

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Die Multiplikation ist gut konditioniert in dem Sinne, dass...

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Eigenwertaufgaben

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Numerik

Eigenschaften der Operatornorm

  • II IIop def. eine Norm
  • IIAIIop=inf (c>0 I für alle x element R^n IIAxII<=cIIxII)
  • IIxII<=1 und A ungleich Null; IIAxII=IIAIIop folgt x=1
  • Infinum und Supremum werden angenommen
  • IIABII<=IIAII IIBII
  • IIEnII=1
  • IIAII>= IlambdaI mit Lambda=EW von A und A eine symmetrische Matrix. Eigenwerte von symmetrischen Matrizen sind beschränkt durch die Operatornorm

Numerik

Wann ist die LU-Zerlegung stabil?

Kap. 3.2.

  • Das Verfahren ist nur stabil, falls cond(L)cond(U) rund cond(A). Dies ist im Allgemeinen nicht der Fall.

Beispiel für eine schlecht konditionierte LU-Zerlegung: Bsp. 3.1 A=(E1110) und A^-1=(011-E) mit Hilfe der Zeilensummennorm.

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Mises-Potenzmethode

Ist ein numerisches Verfahren zur Berechnung des betragsgrößten Eigenwertes und des dazugehörigen Eigenvektors einer Matrix. Der Name kommt daher, dass Matrixpotenzen A^{k}x gebildet werden, wesentlicher Aufwand sind also Matrix-Vektor-Produkte. Deswegen ist das Verfahren insbesondere für dünnbesetzte Matrizen geeignet. Eine direkte Verallgemeinerung zur Berechnung mehrerer betragsgrößter Eigenwerte dünnbesetzter Matrizen ist die Unterraumiteration.

Numerik

l^p-Norm

  • Eigenschaften
  • verschiedene Bsp.

Bsp. 2.1

Bem. 2.1

  • Die l^p-Normen sind äquivalent in dem Sinne, dass es für alle p,q zeischen 1 und unendlich eine Konstante c gibt, sd c^-1 IIxIIp<=IIxIIq<=cIIxIIp. Für jedes beliebige Normenpaar gibt es eine Konstante, sd gilt…
  • DIe l^p Normen unterscheiden sich in ihrer Niveaumenge (dh bspw. alle Vektoren x, für die IIxIIp=1)

Numerik

Iterative Lösungsmethoden

  • Aufgrund von Modell- und Datenfehlern sowie numerischer Rundung ist es im Allgemeinen nicht notwendig und sinnvoll, ein lineares Gleichungssystem exakt im Sinne der Rechnerarithmetik zu lösen. 
  • Wir werden die Lösung eines Gleichungssystems durch eine Folge von Approximationslösungen annähern, und die Iteration abbrechen, wenn die Gleichung hinreichend gut erfüllt ist. 
  • Dieser Ansatz führt in vielen Fällen zu einer erheblichen Reduktion des Aufwands.

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Verwendung von Gerschgorin Kreisen

Die Gerschgorin-Kreise bieten in der Numerik eine einfache Möglichkeit, Eigenschaften von Matrizen zu bestimmen. Enthält z. B. kein Gerschgorin-Kreis den Nullpunkt, so ist die Matrix invertierbar. Diese Eigenschaft wird im Begriff der strikt diagonaldominanten Matrix zusammengefasst. Genauso lässt sich bei symmetrischen bzw. hermiteschen Matrizen die Definitheit oftmals mithilfe der Gerschgorin-Kreise grob abschätzen.

Oder einprägsamer: Jede Zusammenhangskomponente der Vereinigung aller Gerschgorin-Kreisscheiben enthält genauso viele Eigenwerte wie Diagonalelemente der Matrix A

Durch die Möglichkeit, die Kreise sowohl zeilen- als auch spaltenweise zu berechnen (die Eigenwerte der transponierten Matrix sind dieselben), können bei nichtsymmetrischen Matrizen zwei Abschätzungen pro Diagonalelement gefunden werden.

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Rayleigh-Quotient

Durch den Rayleigh-Quotient wird also jeder Eigenvektor von A auf den dazugehörigen Eigenwert λ abgebildet. Diese Eigenschaft wird unter anderem in der numerischen Berechnung von Eigenwerten benutzt.

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komplex Diagonalisierbar

Eine Matrix ist komplex Diagonalisiserbar, wenn es eine reguläre Matrix V€C^nxn und eine Diagonalmatr. D€C^nxn gibt, sd. A=VDV^-1 gilt.

Numerik

Potenzmethode

Mit dieser Methode kann man den dominierenden EW einer Matrix bestimmen. (mit dem dominierenden EW kann man die ganze Matrix bestimmen) Dies geht wie folgt:

  • Voraussetzungen: Sei A€R^nxn eine reell diagonalisierbare Matrix mit EW l1,l2,… und dazugehörigen lu EV, die normiert sind. (Man hat also eine ONB.
  • Man kann nun x€R^n darstellen als eine linearkombi der ONB. 
  • Dann wendet man A^(k)x=A^(k-1)Ax dann Summenformel, dann so einsetzen, dass A*l1*a1*v1+A*l2*a2*v2+…= l1*A*x1=l1*1*x usw… 
  • Ist l1 der betragsmäßig größte EW, so folgt für k hinreichend groß: A^kx sind rund  a1*l1*v1. 
  • Wir betrachten die Normen IIA^kxII /IIA^(k+1)II sind rund l1 
  • Man kann also mit dem dominierenden EW die ganze Matrix bestimmen.

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Was ist ein Aufwand?

Def. 1.5

Für eine Aufgabe phi und ein zughöriges Verfahren phiSchlange ist der Aufwand die Anzahl der benötigten Rechenoperatoren des VERFAHRENS.

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Die Multiplikation ist gut konditioniert in dem Sinne, dass...

… die einzelnen relativen Fehler die Abschätzung ephi=ex+ey+ex*ey

Numerik

Eigenwertaufgaben

Die Berechnung einzelner oder sämtlicher Eigenwerte einer Matrix und gegebenfalls die zugehörigen Eigenvektoren bezeichnet man als Eigenwertaufgaben.

Im Allgemeinen ist es schwierig und ineffizeient die NST eines charakteristischen Polynoms zu bestimmen (siehe Kondition charakteristisches Polynom à warum ist das schlecht konditioniert?), da schon die Auswertung des Polynoms mit einem hohen Aufwand verbunden ist. 

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