lineare Algebra

Karteikarten und Zusammenfassungen für lineare Algebra an der Universität Freiburg im Breisgau

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Beispielhafte Karteikarten für lineare Algebra an der Universität Freiburg im Breisgau auf StudySmarter:

Können sie mir anhand von Abbildungen zeigen, dass die Matrix A ein eindeutiges Inverses hat?

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Wann ist ein lineares Gleichungssystem lösbar?

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Was für Abbildungseigenschaften hat die Matrix?

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Lässt sich eine Determinante auch geometrisch erklären?

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Wofür ist diese nützlich?

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Was sind die Eigenschaften einer Determinante?

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Was ist eine Determinanate?

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Beweis: A ist invertierbar gdw rang (A)=n gdw. det (A) ungleich Null.

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Eigenschaften einer invertierbaren Matrix + Beweise

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Beweis: eine nxn-Matrix ist invertierbar gdw ihr Rang gleich n ist.

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Zeigen Sie die Eindeutigkeit der Inversen Matrix

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(A^-1)*A=A*(A^-1)=En reguläre Matrix: muss man beide Gleichheiten nachprüfen?

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lineare Algebra

Können sie mir anhand von Abbildungen zeigen, dass die Matrix A ein eindeutiges Inverses hat?

siehe Heft

  • Abbildungskette: F à W à V wobei die erste Abbildung D  und die zweite F(-1) ist. Die Verkettung beider ergibt dann die Identität, was wiederum der Einheitsmatrix auf Matrixebene entspricht. 

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Wann ist ein lineares Gleichungssystem lösbar?

  • Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix  der erweiterten Koeffizientenmatrix (AIb)
  • Ist der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix und auch gleich der Anzahl der Unbekannten, so besitzt das Gleichungssystem genau eine Lösung
  • Bei einem quadratischen Gleichungssystem, also im Fall   m        =        n  , gibt die Determinante Auskunft über die Lösbarkeit. Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn der Wert der Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist. Ist der Wert jedoch gleich null, hängt die Lösbarkeit von den Werten der Nebendeterminanten ab. Bei diesen wird jeweils eine Spalte der Koeffizientenmatrix durch die Spalte der rechten Seite (den Vektor b) ersetzt. Nur wenn alle Nebendeterminanten den Wert null haben, kann das System unendlich viele Lösungen haben, ansonsten ist das Gleichungssystem unlösbar.

lineare Algebra

Was für Abbildungseigenschaften hat die Matrix?

  • Sie ist bijektiv, ein LGS mit einer regulären Koeffizientenmatrix ist eindeutig lösbar

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Lässt sich eine Determinante auch geometrisch erklären?

Ja – siehe Heft (als

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Wofür ist diese nützlich?

  • Mit Hilfe der Determinante kann man die Eigenwerte bestimmen
  • und man kann feststellen, ob eine Matrix invertierbar ist. (wenn die det ungleich null ist)

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Was sind die Eigenschaften einer Determinante?

siehe Heft

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Was ist eine Determinanate?

Siehe Heft

lineare Algebra

Beweis: A ist invertierbar gdw rang (A)=n gdw. det (A) ungleich Null.

siehe Heft

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Eigenschaften einer invertierbaren Matrix + Beweise

  • wenn A,B invertierbar sind, dann ist auch A*B invertierbar und es gilt: (AB)^-1=A^-1*B^-1
  • (A^-1)T=(AT)^-1

Beweise: 

i) (B^-1 A^-1)(AB)=B^-1(A^-1A)B=B^-1B=E daraus folgt: ?

ii)

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Beweis: eine nxn-Matrix ist invertierbar gdw ihr Rang gleich n ist.

siehe Heft

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Zeigen Sie die Eindeutigkeit der Inversen Matrix

Eine Matrix Aelement Mat (nxn;K) sei invertierbar und es gelte BA=E. Dann ist B eindeutig bestimmt und es gilt: BA=AB=E.

Beweis:

Zuerst benutzen wir IInvertierbarkeit: ist A invertierbar, so ist die Standartabb. bijektiv. 

Also ist sie auch surjektiv. Das bedeutet, dass wir für jedes w in K^n  ein v in K^n finden sodass w=Av

Das heißt dann: w=Av=A(BA)v=(AB)Av=ABw=w dauraus folgt, dass auch AB=En

Eindeutigkeit: 

Ist C eine weitere nxn-Matrix über K mit CA=E dann gilt C=B weil:

C=CE=C(AB)=(CA)B=EB=B

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(A^-1)*A=A*(A^-1)=En reguläre Matrix: muss man beide Gleichheiten nachprüfen?

(Wikipedia) ist A element R mit R ein kommutativer Ring, Körper oder Schiefkörper, so sind die Bedingungen äquivalent.

  • Denn die Menge der invertierbaren Matrizen bildet eine Gruppe: die allgemeine lineare Gruppe. (zeigen?)

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