PFP Vorlesung an der Universität Erlangen-Nürnberg

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Operationen auf Sprachen:

Sprachprodukt (Konkatenation von Sprachen)

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Operationen auf Sprachen:

Durchschnitt und Vereinigung

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Operationen auf Sprachen

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Rekursive Definition von Funktionen auf Wörtern.

Nenne 3 Funktionen

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Wörter (Zeichenreihen)

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Vereinbarung über das Symbol ε

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Wörter Definition

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Rekursive Definitionen von Funktionen auf induktiv
definierten Mengen

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Strukturelle Induktion

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Induktive Definition von Mengen

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Induktiver Aufbau der Menge N durch die Definition:

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Operationen auf Sprachen:

Sprachpotenz

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PFP Vorlesung

Operationen auf Sprachen:

Sprachprodukt (Konkatenation von Sprachen)

L1 ◦ L2 = {vw | v ∈ L1, w ∈ L2}

(Schreibweise: L1L2)

PFP Vorlesung

Operationen auf Sprachen:

Durchschnitt und Vereinigung

L1 ∩ L2 bzw. L1 ∪ L2.

PFP Vorlesung

Operationen auf Sprachen

  • Durchschnitt und Vereinigung
  • Komplement
  • Sprachprodukt (Konkatenation von Sprachen)
  • Sprachpotenz
  • Kleene-Stern
  • Spiegelung

PFP Vorlesung

Rekursive Definition von Funktionen auf Wörtern.

Nenne 3 Funktionen

  • Konkatenation
  • Spiegelung (Revertierung)
  • Anzahl des Vorkommens eines Zeichens (anz)

PFP Vorlesung

Wörter (Zeichenreihen)

endliche Folge mit den Folgengliedern a1, a2, . . . , an:

mathematisch korrekt: ein n-Tupel (a1, a2, . . . , an)

hier schreiben wir: a1a2 · · · an

Ist w = a1a2 · · · an ein Wort über Σ und b ∈ Σ,
so bezeichnet bw das Wort ba1a2 · · · an.

Σ* bezeichnet die Menge aller Wörter über Σ.

Σ⁺ bezeichnet die Menge Σ* {ε}.

PFP Vorlesung

Vereinbarung über das Symbol ε

Vereinbarung: das Symbol ε ist kein Element von Σ.

PFP Vorlesung

Wörter Definition

  • Es sei Σ eine nicht-leere, endliche Menge.
  • So eine Menge Σ heißt Alphabet,
    ihre Elemente heißen Symbole (oder Zeichen).
  • Ein Wort (auch Zeichenreihe, Zeichenfolge, Zeichenkette)
    über Σ ist eine endliche Folge von Elementen aus Σ.
  • Die Anzahl der Folgenglieder heißt Länge des Wortes.
  • Die leere Folge (mit der Länge 0) wird mit
    ε bezeichnet und heißt leeres Wort.

PFP Vorlesung

Rekursive Definitionen von Funktionen auf induktiv
definierten Mengen

Allgemeines Schema der rekursiven Definition einer Funktion f : M → N mit einer induktiv definierten Menge M

1. Definiere f(x) für alle explizit angegebenen Elemente x ∈ M.

2. Für jede Regel, die y ∈ M aus x1, . . . , xk ∈ M erzeugt:
definiere f(y) unter Verwendung von f(x1), . . . , f(xk).

PFP Vorlesung

Strukturelle Induktion

  • Mathematische Beweismethode, die eine Aussage für alle Elemente einer induktiv definierten Menge M beweist.
  • Prinzip:
    • Gegeben: P als Eigenschaft der Elemente von M,
      P(x) bedeute: „x hat die Eigenschaft P “
    • Um P(x) für alle x ∈ M zu beweisen:
      • Induktionsanfang: beweise P(x) für alle (in der induktiven
        Definition von M) explizit angegebenen Elemente x ∈ M.
      • Induktionsschritt: beweise für jede Regel, mit der y ∈ M aus x1, . . . , xk erzeugt werden kann: falls P(x1), . . . , P(xk) gelten, so gilt auch P(y).
      • Induktionsschluss: aus den Punkten 1. und 2. folgt, dass P(z) für alle z ∈ M gilt.

PFP Vorlesung

Induktive Definition von Mengen

auch andere Mengen M sind induktiv definierbar

1. Explizite Angabe von einigen Elementen von M

2. Regeln zur Erzeugung weiterer Elemente y ∈ M
aus vorhandenen x1, …, xk ∈ M.

PFP Vorlesung

Induktiver Aufbau der Menge N durch die Definition:

  • 0 ∈ N
  • Ist n ∈ N, so ist auch n + 1 ∈ N.
  • Außer den Elementen gemäß 1. und 2. enthält N keine
    weiteren Elemente.

Definition legt Erzeugungsmechanismus für alle Elemente von N fest, der bei einem Induktionsbeweis der Aussage „P(n) gilt für alle n ∈ N“ widergespiegelt wird.

PFP Vorlesung

Operationen auf Sprachen:

Sprachpotenz

L⁰ = {ε}, L^n+1^ = L ◦ L^n^

also explizit: Ln = {w1w2 . . . wn | wi ∈ L für i = 1, . . . , n} (für n ∈ N)

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