Operations Research an der Universität Duisburg-Essen

Karteikarten und Zusammenfassungen für Operations Research an der Universität Duisburg-Essen

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Dualisierung 

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Schattenpreise

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Reduzierte Kosten 

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Unbeschränktes Problem

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Nicht eindeutige Lösung

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(primal-) degenerierte Lösung 

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Unzulässige Lösung 

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Standardisierte Normalform 

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Ein LP ist in Normalform, wenn

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LPs in Normalform 

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Operations Research

Dualisierung 
- die Anzahl der Entscheidungsvariablen (=Dualvariablen) des dualen Problems entspricht der Anzahl der Restriktionen im primalen Problem. Die Anzahl der Restriktionen im dualen Problem entspricht der Anzahl der Entscheidungsvariablen im primalen Problem
- Dualisiert man das duale Problem, dann erhält man das primale Problem zurück
- jede zulässige Lösung des dualen (Minimierungs-)Problems definiert eine obere Schranke für das primale (Maximierungs-)Problem. Ist das primale Problem ein Minimierungsproblem, so liefert jede zulässige Lösung des zugehörigen dualen Problems eine untere Schranke
- ist das primale (duale) Problem unbeschränkt, dann hat das duale (primale) Problem keine zulässige Lösung

Operations Research

Schattenpreise
Die Werte cj' in der F-Zeile unterhalb der Schlupfvariablen nennt man Schattenpreise

Operations Research

Reduzierte Kosten 
die Werte cj' in der F-Zeile nennt man reduzierte Kosten (der Variablen xj).

Operations Research

Unbeschränktes Problem
Falls sich in der ausgewählten Spalte j (Pivotspalte) nur Elemente aij', die kleiner oder gleich Null sind, befinden, dann ist das Problem unbeschränkt. Die Variable xj kann beliebig groß gewählt werden. Der maximale Zielfunktionswert ist unendlich, falls cj' < 0 ist (Das Problem hat einen unbeschränkten Zielfunktionswert).

Operations Research

Nicht eindeutige Lösung
Gibt es im optimalen Tableau eine Nichtbasisvariable xj mit Wert cj'=0 in der F-Zeile ((dual-)degenerierte Lösung), dann ist die optimale Lösung nicht eindeutig (parametrische Lösungen).
Durch die Aufnahme dieser Nichtbasisvariable in die Basis erhält man eine weiter optimale Lösung.

Operations Research

(primal-) degenerierte Lösung 
Eine zulässige Lösung bei der eine Basisvariable xi den Wert bi'=0 besitzt, nennt man (primal-)degenerierte Lösung.



Ist eine Lösung degeneriert, dann führt ein Basistausch nicht notwendig zu einer Verbesserung der Lösung, da die Auswahl einer Pivotzeile mit bi'=0 den Zielfunktionwert nicht ändert.

Operations Research

Unzulässige Lösung 
Falls einer der Werte bi' negativ ist, so ist die Lösung nicht zulässig, da die Nichtnegativitätsrestriktion verletzt ist

Operations Research

Standardisierte Normalform 
Für den Simplex-Algorithmus muss gelten: In jeder Restriktion kommt genau eine Schupfvariable vor. Diese Schlupfvariable darf nur in dieser einen und in keiner anderen Restriktion auftauchen und muss den Koeffizienten +1 haben.



=> Jedes LP lässt sich in diese standardisierte Normalform überführen! 



Treten auf der rechten Seite der Restriktionen eines LPs in standardisierter Normalform nur nicht-negative Werte auf, dann befindet sich da LP in kanonischer Form.

Operations Research

Ein LP ist in Normalform, wenn
1. die Zielfunktion linear und zu maximieren ist, 
2. alle Entscheidungsvariablen nicht-negativ sind, 
3. alle Restriktion = Restriktionen sind,
4. auf der rechten Seite der Restriktionen nur konstante Terme auftreten und links nur lineare Terme.

=> Jedes LP kann in Normalform überführt werden!

Operations Research

LPs in Normalform 
Jede vorzeichenbehaftete Variable kann durch zwei nicht-negative Variablen ersetzt werden

Operations Research

LPs in Normalform (4)
Jede <= Restriktion kann durch Einführen einer nicht-negativen Schlupfvariable in eine = Restriktion überführt werden.

Die Variablen xi (in Abgrenzung zu den Schlupfvariablen) nennt man Strukturvariablen.

Operations Research

LPs in Normalform (3)
Jede >= Restriktion kann in eine <= Restriktion überführt werden (und umgekehrt), indem beide Seiten mit -1 multipliziert werden

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