LA an der Universität Duisburg-Essen

Karteikarten und Zusammenfassungen für LA an der Universität Duisburg-Essen

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Negation

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Existenzquantor

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Allquantor

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Der Mengenbegriff

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Prädikat

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Argument gültig

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logisches Argument

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logische Implikation

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logische Äquivalenz

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Tautologie

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Widerspruch

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Alternative

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LA

Negation
  1. Die Negation der Aussage A (in Zeichen: ¬A) ist genau dann wahr, wenn A falsch ist.

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Existenzquantor
Ist p(x) eine Aussageform, dann definieren wir damit die Aussage:
(∃x)[p(x)]
Sprich: Es gibt ein x, so dass gilt p(x)
folgendermaßen: (∃x)[p(x)] ist genau dann wahr, wenn man (mindestens!) einen Namen eines Objektes oder Individuums angeben kann, der, für x in p(x) eingesetzt, zu einer wahren Aussage führt.

LA

Allquantor
Ist p(x) eine Aussageform, dann definieren wir damit die Aussage:
(∀x)[p(x)]
Sprich: Für alle x gilt p(x)
folgendermaßen: (∀x)[p(x)] ist genau dann wahr, wenn für alle erdenklichen Ersetzungen von x durch Namen von Objekten oder Individuen, eingesetzt in p(x), die daraus resultierende Aussage stets wahr ist.

LA

Der Mengenbegriff
Georg Cantor2 versuchte den Begriff der Menge folgendermaßen zu definieren:
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen. Damit obiger Begriff sinnvoll ist, müssen wir voraussetzen, dass wir (zumindest prinzipiell) stets entscheiden können, ob ein gegebenes Objekt Element einer Menge ist oder nicht. (Praktisch ist dies in vielen Fällen jedoch äußerst schwierig.)

Ist a ein Objekt und M eine Menge, die a als Element enthält, so kennzeichnen wir diesen Sach- verhalt mit
a ∈ M „a ist Element von M“
Ist a kein Element von M (also ¬(a ∈ M)), so schreiben wir dafür
a ∈/ M „a ist nicht/kein Element von M“

LA

Prädikat
Ein Prädikat ist ein sprachliches Gebilde, das eine Eigenschaft von einem oder mehreren Objekten oder Individuen beschreibt.

Mit Hilfe von Prädikaten erhält man durch Einsetzen eines Namens oder Objekts bzw. eines Indi- viduums an geeigneter Stelle eine Aussage (Prädikate selbst sind keine Aussagen):

LA

Argument gültig
  1. Wir sagen, dass ein Argument gültig ist, falls die Konjunktion aller Prämissen die Folgerung logisch impliziert.
    D. h. (P1 ∧ … ∧ Pn) ⊢ F (oder auch (P1 ∧ … ∧ Pn) =⇒ F ist eine Tautologie), ansonsten nennen wir das Argument ungültig.

LA

logisches Argument
  1. Ein (logisches) Argument besteht aus einer oder mehreren Aussagen P1, . . . , Pn mit n ∈ N (den sogenannten Prämissen) und einer Aussage F (der sogenannten Folgerung).

LA

logische Implikation
Ist A =⇒ B eine Tautologie, dann heißt diese Aussage logische Implikation und wir schrei-
ben A ⊢ B

LA

logische Äquivalenz
Ist A ⇐⇒ B eine Tautologie, dann heißt dieses Aussage logische Äquivalenz und wir
schreiben A ≡ B.

LA

Tautologie
  1. Eine zusammengesetzte Aussage heißt Tautologie, wenn sie für alle Kombinationen der Wahrheitswerte ihrer Komponenten wahr ist.

LA

Widerspruch
  1. Eine zusammengesetzte Aussage (d. h. die Verknüpfung einer oder mehrerer Teilaussagen) heißt Widerspruch, wenn sie für alle Kombinationen der Wahrheitswerte ihrer Komponenten falsch ist.

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Alternative
  1. Die Alternative oder „Entweder-Oder-Verknüpfung“ von A und B (in Zeichen: A B) ist genau dann wahr, wenn A und B verschiedene Wahrheitswerte besitzen.

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