Analysis an der Universität Duisburg-Essen

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Stetigkeit von Funktionen: Unstetigkeitsstelle zweiter Art

|1, falls x ∈ Q (x ist rational)
f: R--->R mit f(x) := |
|0, falls x ∈ R\Q (x ist irrational)

Die Funktion f hat an jeder Stelle a ∈ R eine
Unstetigkeitsstelle zweiter Art, denn in jeder Umgebung
einer rationalen Zahl liegt eine irrationale Zahl, und in jeder
Umgebung einer irrationalen Zahl liegt eine rationale Zahl.
D. h. an jeder Stelle a ∈R existiert weder f(a + 0) noch f(a−0).

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Einschließungsregel

Es gelte an <= bn <= cn für alle bis auf endlich viele n. Falls d in R existiert mit lim (an) = d = lim (cn), dann gilt lim (bn) = d.

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Bernoullische Ungleichung

(1+x)^n >= 1 + n*x für alle x > -1

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Wert der geometrischen Reihe für |z| > 1

(1 - z^n+1) / (1 - z)

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Stetigkeit von Funktionen: Unstetigkeitsstelle zweiter Art

|1, falls x ∈ Q (x ist rational)
f: R--->R mit f(x) := |
|0, falls x ∈ R\Q (x ist irrational)

Die Funktion f hat an jeder Stelle a ∈ R eine
Unstetigkeitsstelle zweiter Art, denn in jeder Umgebung
einer rationalen Zahl liegt eine irrationale Zahl, und in jeder
Umgebung einer irrationalen Zahl liegt eine rationale Zahl.
D. h. an jeder Stelle a ∈R existiert weder f(a + 0) noch f(a−0).

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Stetigkeit von Funktionen: Unstetigkeitsstelle zweiter Art

|1, falls x ∈ Q (x ist rational)
f: R--->R mit f(x) := |
|0, falls x ∈ R\Q (x ist irrational)

Die Funktion f hat an jeder Stelle a ∈ R eine
Unstetigkeitsstelle zweiter Art, denn in jeder Umgebung
einer rationalen Zahl liegt eine irrationale Zahl, und in jeder
Umgebung einer irrationalen Zahl liegt eine rationale Zahl.
D. h. an jeder Stelle a ∈R existiert weder f(a + 0) noch f(a−0).

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komplexe Zahl Aufbau

z = a + bi, wobei
a = Realteil
b = Imaginärteil
i = imaginäre Einheit definiert durch i^2 = -1

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|1, falls x ∈ Q (x ist rational)
f: R--->R mit f(x) := |
|0, falls x ∈ R\Q (x ist irrational)

Die Funktion f hat an jeder Stelle a ∈ R eine
Unstetigkeitsstelle zweiter Art, denn in jeder Umgebung
einer rationalen Zahl liegt eine irrationale Zahl, und in jeder
Umgebung einer irrationalen Zahl liegt eine rationale Zahl.
D. h. an jeder Stelle a ∈R existiert weder f(a + 0) noch f(a−0).

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Wie lautet die De Morgansche Regel?

De Morgansche Regel: ¬b bzw ¬(a ∨ b) = ¬a ∧ ¬b. also: nicht (a und b) = (nicht a) oder (nicht b) nicht (a oder b) = (nicht a) und (nicht b)

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Was ist ein "Komplement"?

Ist A ⊆ G, so heißt G−A auch das Komplement von A bezüglich G, das auch als A geschrieben wird, wenn durch den Zusammenhang kein Zweifel besteht, welche Menge G gemeint ist, beispielsweise wenn G die Grundmenge ist.

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Was ist eine Potenzmenge?

Die Potenzmenge {\displaystyle {\mathcal {P}}(M)} \mathcal P(M) einer Menge {\displaystyle M} M ist die Menge aller Teilmengen dieser Menge: P(A)={X|X⊆A}

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Was besagt die umgekehrte Dreiecksungleichung?

|x+y| >= ||x| - |y|| mit Gleichheit genau für x, y mit verschiedenen Vorzeichen.

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