Statistische Methoden I an der Universität Düsseldorf

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Bestimmtheitsmaß und Korrelationskoeffizient

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Lineare Transformation

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Rand-Mittelwerte

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Korrigierte Varianz

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Vor- und Nachteile gegenüber dem arithmetischen Mittel

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Bedingte Verteilungen

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Kontingenzkoeffizient

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Multivariate Analysen

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Verteilung jeweils einer diskreten Variablen

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Median in R

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3 Eigenschaften des arithmetischen Mittels

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Statistische Methoden I

Bestimmtheitsmaß und Korrelationskoeffizient

Das Bestimmtheitsmaß ist gleich dem quadrierten Korrelationskoeffizienten zwischen X und Y:

R^2 = r^2_xy = b^2 * s^2_x/s^2_y

Statistische Methoden I

Lineare Transformation

Gegeben: 

- Die Korrelation rxy bzw. (korrigierte) Kovarianz

- Lineare Transformationen von X und Y mit b1 ungleich 0 und b2 ungleich 0

U = a1 + byX

V = a2 + b2Y


cuv = b1*b2*cxy

ruv = rxy wenn b1b2 > 0
-rxy wenn byb2 < 0

Statistische Methoden I

Rand-Mittelwerte

Die Formel ist identisch wie bisher, es muss mit der Häufigkeit (d.h. Randhäufigkeit) für X =xi bzw. Y =yj gewichtet werden: 

^x = 1/n * (k X i=1) von ni·xi = (k X i=1) von hi * xi


^y = 1/n * (l X j=1) von n·jyj  = (l X j=1) von hj * yj


Beispiel: Y = Zylinder, s.o.:

y=0.3462·4+0.01710·5+0.3376·6+0.2991·8=5.8887

Statistische Methoden I

Korrigierte Varianz

  • Oft wird auch mit der korrigierten Varianz gearbeitet. 
  • Bei großer Beobachtungszahl n unterscheiden sich beide kaum.
  • Definition: ˜ s^2_x = 1/(n−1) * (xj −^x)^2
    = [n/(n−1)] *s^2_x 

Statistische Methoden I

Vor- und Nachteile gegenüber dem arithmetischen Mittel

Nachteil des Median gegenüber dem arithmetischen Mittel

  • Nutzt nur einen Beobachtungswert, der Wert der anderen geht nicht in die Berechnung ein

Vorteil des Median gegenüber dem arithmetischen Mittel 

  • Robust gegenüber Ausreißern 
  • Auch bei ordinal skalierten Größen gut interpretierbar

Statistische Methoden I

Bedingte Verteilungen

Um den Zusammenhang zwischen X und Y genauer zu beleuchten, kann man sich z.B. fragen, wie die Verteilung von Y ist, wenn man X auf einem Wert X =xi festhält

z.B. relH(Hoher Umsatz | Werbemaßnahme). 


Die bedingte Verteilung von X gegeben Y wird beschrieben durch 

hi|yj = relH(X =xi|Y =yj) = nij/n·j = hij/h·j 


Analog gilt für die bedingte Verteilung von Y gegeben X: 

hj|xi =relH(Y =yj|X =xi)= nij/ni· = hij/hi·

Statistische Methoden I

Kontingenzkoeffizient

Wie stark ist statistische Unabhängigkeit verletzt?

  • nij: tatsächliche gemeinsame (absolute) Häufigkeit 
  • Eij :hypothetische gemeinsame (absolute) Häufigkeit bei Unabhängigkeit (und gleichen Randverteilungen):
    Eij =n * hi· * h·j = (ni· * n·j)/n
  • Abweichung von Zelle i,j: (nij −Eij) 
  • Quadratische Kontingenz: Summieren der quadrierten und normierten Abweichungen über alle Zellen:

QK = (k X i=1 und l X j=1) von (nij −Eij)^2/Eij

Bei Unabhängigkeit ist QK =0

Statistische Methoden I

Multivariate Analysen

  • Interessant: Verteilung und die Eigenschaften eines Merkmals 
  • Interessanter: Zusammenhang zwischen mehreren Merkmalen 
  • Hier: zwischen zwei Merkmalen 
    Beispiele:
    a) zwischen dem Alter und der Kinderzahl
    b) dem Gehalt und dem Ausbildungsstand
    c) der nachgefragten Menge und dem Preis
    d) eingesetzter Werbung und dem Umsatz

Statistische Methoden I

Verteilung jeweils einer diskreten Variablen

Wie gehabt: Häufigkeiten 

Ausprägungslisten: 

Ausprägungen von Merkmal X: x1,x2,...,xk 

Ausprägungen von Merkmal Y: y1,y2,...,yl

Statistische Methoden I

Median in R

  • sort(z)
  • quantile(z,0.5,type=1)

Statistische Methoden I

Varianz

  • Das am häufigsten verwendete Streuungsmaß.
  • (Unkorrigierte) Varianz s^2_x = mittlere quadratische Abweichung der Beobachtungswerte von ihrem arithmetischen Mittel:                                              ______
  • Var(X) = s^2_x = 1/n * (xj −^x)^2 = (xj −^x)^2

Alternativ:

  • Häufig kann die (unkorrigierte) Varianz einfacher berechnet werden mit der äquivalenten Formel: 
  • s^2_x  = ^^x^2− ^x^2 
  • Also: ar. Mittel von x^2 - (ar.Mittel von x)^2

Statistische Methoden I

3 Eigenschaften des arithmetischen Mittels

1. Zentraleigenschaft: Die mittlere Abweichung der Beobachtungswerte von ihrem arithmetischen Mittel ist Null.

1/n * ((x1-^x)+(x2-^x)...) = 0

In R: 

  • abw <- note-mean(note)
  • mean(abw)
  • round(mean(abw),15) 

2. Verschiebungseigenschaft:

yi = xi + a       ->      für alle i       -> ^y = ^x + a

In R:

  • lohnplus100 <- lohn + 100
  • Alles ändert sich um 100 Einheiten

3. Homogenität:

yi = b · xi     für alle i    ⇒ ^y =  b · ^x

In R:

  • doppellohn <- lohn * 2
  • Alles verdoppelt sich

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