Statistische Methoden I an der Universität Düsseldorf

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Lagemaß:

Was ist ein typischer Wert bzw. eine durchschnittliche Größenordnung?

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3 Eigenschaften des arithmetischen Mittels

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Median

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Median in R

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Vor- und Nachteile gegenüber dem arithmetischen Mittel

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Lorenz-Kurve in R

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Weitere Konzentrations-, Ungleichheits- und Armutsmaße

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Multivariate Analysen

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Zweidimensionale Datenreihe

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Gemeinsame relative Häufigkeit

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Rand-Mittelwerte

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Bedingte Verteilungen

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Statistische Methoden I

Lagemaß:

Was ist ein typischer Wert bzw. eine durchschnittliche Größenordnung?

  • Arithmetisches Mittel
  • Median
  • Modus
  • Harmonisches Mittel
  • Geometrisches Mittel

Statistische Methoden I

3 Eigenschaften des arithmetischen Mittels

1. Zentraleigenschaft: Die mittlere Abweichung der Beobachtungswerte von ihrem arithmetischen Mittel ist Null.

1/n * ((x1-^x)+(x2-^x)...) = 0

In R: 

  • abw <- note-mean(note)
  • mean(abw)
  • round(mean(abw),15) 

2. Verschiebungseigenschaft:

yi = xi + a       ->      für alle i       -> ^y = ^x + a

In R:

  • lohnplus100 <- lohn + 100
  • Alles ändert sich um 100 Einheiten

3. Homogenität:

yi = b · xi     für alle i    ⇒ ^y =  b · ^x

In R:

  • doppellohn <- lohn * 2
  • Alles verdoppelt sich

Statistische Methoden I

Median

  • Den Median kennen wir schon als 0.5-Quantil.
  • Er ist also (approximativ) der Wert, unterhalb dessen genauso viele Beobachtungen liegen wir oberhalb: H(x[0.5])≈ 1 2 
  • Der Median ist in dem Sinne ein wichtiges Maß für einen „typischen“ Wert von X. 
  • Eine (neben anderen) formal richtige Definition des Median ist
    xMed = min {x |H(x) ≥ 1/2}

Statistische Methoden I

Median in R

  • sort(z)
  • quantile(z,0.5,type=1)

Statistische Methoden I

Vor- und Nachteile gegenüber dem arithmetischen Mittel

Nachteil des Median gegenüber dem arithmetischen Mittel

  • Nutzt nur einen Beobachtungswert, der Wert der anderen geht nicht in die Berechnung ein

Vorteil des Median gegenüber dem arithmetischen Mittel 

  • Robust gegenüber Ausreißern 
  • Auch bei ordinal skalierten Größen gut interpretierbar

Statistische Methoden I

Lorenz-Kurve in R

  • library(ineq) 
  • z < - c(...) 
  • # LC berechnen: 
  • LCPKW <- Lc(z) 
  • # Tabelle ausgeben: 
  • H <- LCPKW$p 
  • M <- LCPKW$L 
  • cbind(H,M) 
  • # Lorenzkurve zeichnen:
  • plot(Lc(z),xlab="H",ylab="M")

Statistische Methoden I

Weitere Konzentrations-, Ungleichheits- und Armutsmaße

Herfindahl I Rosenbluth I Atkinson I Theil I Kolm I Watts I Sen I Foster

Statistische Methoden I

Multivariate Analysen

  • Interessant: Verteilung und die Eigenschaften eines Merkmals 
  • Interessanter: Zusammenhang zwischen mehreren Merkmalen 
  • Hier: zwischen zwei Merkmalen 
    Beispiele:
    a) zwischen dem Alter und der Kinderzahl
    b) dem Gehalt und dem Ausbildungsstand
    c) der nachgefragten Menge und dem Preis
    d) eingesetzter Werbung und dem Umsatz

Statistische Methoden I

Zweidimensionale Datenreihe

i die Beobachtungsnummer 

ωi die i-te statistische Einheit 

xi das i-te Merkmal X 

yi das i-te Merkmal Y.


Dabei ist für 1≤i ≤n

Statistische Methoden I

Gemeinsame relative Häufigkeit

Der Anteil der Beobachtungen, bei denen X =xi und

 Y =yj ist, für i =1,...,k und j =1,...,l: 

hij = relH(X =xi ∩Y =yj) = nij/n


Umrechnung in relative Häufigkeiten per prop.table():

  •  relH <- prop.table(absH)
  • Eventuell runden mit round(relH,3)
  • sum(relH)

Statistische Methoden I

Rand-Mittelwerte

Die Formel ist identisch wie bisher, es muss mit der Häufigkeit (d.h. Randhäufigkeit) für X =xi bzw. Y =yj gewichtet werden: 

^x = 1/n * (k X i=1) von ni·xi = (k X i=1) von hi * xi


^y = 1/n * (l X j=1) von n·jyj  = (l X j=1) von hj * yj


Beispiel: Y = Zylinder, s.o.:

y=0.3462·4+0.01710·5+0.3376·6+0.2991·8=5.8887

Statistische Methoden I

Bedingte Verteilungen

Um den Zusammenhang zwischen X und Y genauer zu beleuchten, kann man sich z.B. fragen, wie die Verteilung von Y ist, wenn man X auf einem Wert X =xi festhält

z.B. relH(Hoher Umsatz | Werbemaßnahme). 


Die bedingte Verteilung von X gegeben Y wird beschrieben durch 

hi|yj = relH(X =xi|Y =yj) = nij/n·j = hij/h·j 


Analog gilt für die bedingte Verteilung von Y gegeben X: 

hj|xi =relH(Y =yj|X =xi)= nij/ni· = hij/hi·

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