Statistische Methoden I an der Universität Düsseldorf

Karteikarten und Zusammenfassungen für Statistische Methoden I im Betriebswirtschaftslehre Studiengang an der Universität Düsseldorf in Düsseldorf

CitySTADT: Düsseldorf

CountryLAND: Deutschland

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3 Eigenschaften des arithmetischen Mittels

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Interpretation von linearen Regressionen

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Gemeinsame relative Häufigkeit

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Multivariate Analysen

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Bestimmtheitsmaß R^2

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Eigenschaften der Regressionsgeraden

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Bestimmtheitsmaß und Korrelationskoeffizient

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Varianzzerlegung 

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Rangkorrelation nach Spearman

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Methode der kleinsten Quadrate (KQ, OLS)

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Summen zweier Merkmale

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Diskrete und stetige Variablen gemischt

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Statistische Methoden I

3 Eigenschaften des arithmetischen Mittels

1. Zentraleigenschaft: Die mittlere Abweichung der Beobachtungswerte von ihrem arithmetischen Mittel ist Null.

1/n * ((x1-^x)+(x2-^x)…) = 0

In R: 

  • abw <- note-mean(note)
  • mean(abw)
  • round(mean(abw),15) 

2. Verschiebungseigenschaft:

yi = xi + a       ->      für alle i       -> ^y = ^x + a

In R:

  • lohnplus100 <- lohn + 100
  • Alles ändert sich um 100 Einheiten

3. Homogenität:

yi = b · xi     für alle i    ⇒ ^y =  b · ^x

In R:

  • doppellohn <- lohn * 2
  • Alles verdoppelt sich

Statistische Methoden I

Interpretation von linearen Regressionen

Regressionsgerade:

´Umsatz = 934249 + 52274 * Marketingausgaben

Richtige Interpretation:

Wenn in einem Monat EUR 1000 mehr für Marketing ausgegeben wurde, war der Umsatz um durchschnittlich EUR 5227 höher. (Möglicherweise) falsche Interpretationen: kausaler Effekt

  • Die Marketingausgaben haben den Umsatz verursacht
  • Ich kann den Umsatz um EUR 5227 erhöhen, indem ich die Marketingausgaben um 1000 EUR erhöhe
  • Grund: Der Zusammenhang kann auch durch andere Effekte verursacht worden sein
  • Saisonale Schwankungen von beiden Größen
  • Weihnachtsgeschäft
  • Erwartete Umsatzsteigerungen und dadurch erhöhtes Marketing
  • –> Scheinkorrelation oder Scheinkausalität

Weitere Beispiele von falscher kausaler Interpretation:

  • Je größer die Storchendichte, desto größer die Geburtenrate
  • Je mehr Menschen morgens einen Regenschirm mitnehmen, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit, dass es regnet

Wahre kausale Aussagen wären spannend, dazu nötig:

  • Sprachkenntnis/Theorie: Es gibt keine anderen solchen Einflüsse, die mit der erklärenden Variable zusammenhängen
  • Experiment: Das kann sichergestellt werden durch Experimente: Variiere die Marketingausgaben zufällig und beobachte die Umsätze!

Statistische Methoden I

Gemeinsame relative Häufigkeit

Der Anteil der Beobachtungen, bei denen X =xi und

 Y =yj ist, für i =1,…,k und j =1,…,l: 

hij = relH(X =xi ∩Y =yj) = nij/n

Umrechnung in relative Häufigkeiten per prop.table():

  •  relH <- prop.table(absH)
  • Eventuell runden mit round(relH,3)
  • sum(relH)

Statistische Methoden I

Multivariate Analysen

  • Interessant: Verteilung und die Eigenschaften eines Merkmals 
  • Interessanter: Zusammenhang zwischen mehreren Merkmalen 
  • Hier: zwischen zwei Merkmalen 
    Beispiele:
    a) zwischen dem Alter und der Kinderzahl
    b) dem Gehalt und dem Ausbildungsstand
    c) der nachgefragten Menge und dem Preis
    d) eingesetzter Werbung und dem Umsatz

Statistische Methoden I

Bestimmtheitsmaß R^2

R^2 = Anteil der durch die Regression erklärten Varianz von Y

R^2 = s^2_´y/s^2_y = Erklärte Varianz / Gesamte Varianz von Y 

= 1 – s^2_E/s^2_y = 1 – Nicht erklärte Varianz/Gesamte Varianz von Y

Es gilt immer:R^2 zwischen 0 und 1

Interpretation

  • R^2 = 0: kein Erklärungsehalt der Regression
  • R^2 nahe 0 = geringer Erklärungsgehalt
  • R^2 nahe 1 = hoher Erklärungsgehalt 
  • R^2 = 1: vollkommener Erklärungsgehalt

Statistische Methoden I

Eigenschaften der Regressionsgeraden

1. Die Regressionsgerade geht durch den Schwerpunkt der Daten (^x,^y), d.h. es gilt:

^y = a+b*^x

2. Der Durchschnittswert der durch die Regression vorhergesagten Werte ist gleich dem Durchschnittswert der abhängigen Variablen:
^´y = ^y

3. Der Durchschnittswert der Residuen ist gleich Null:

^e=0

4. Die durch die Regression vorhergesagten Werte ´yi sind unkorreliert mit den Abweichungen der Regression ei

c´ye = 0

Statistische Methoden I

Bestimmtheitsmaß und Korrelationskoeffizient

Das Bestimmtheitsmaß ist gleich dem quadrierten Korrelationskoeffizienten zwischen X und Y:

R^2 = r^2_xy = b^2 * s^2_x/s^2_y

Statistische Methoden I

Varianzzerlegung 

Die Varianz der abhängigen Variablen Y kann geschrieben werden als 

Y = ´Y + E

s^2_y = s^2_´y + s^2_E (+2c^ye, was aber 0 ergibt wegen Eigenschaft 4)

s^2_y = Varianz der erklärenden Daten yj

s^2_´y = durch Regression erklärte Varianz

s^2_E = die nicht durch Regression erklärte Varianz

Statistische Methoden I

Rangkorrelation nach Spearman

Der Rang einer Beobachtung ist einfach die Position in einer sortierten Liste.

Der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman hat die gleiche Form wie rxy, verwendet aber den Rang der Beobachtungen statt der Originalwerte

rxyS = rrg(x), rrg(Y)

Vorteile:
-Auch für nichtlineare Zusammenhänge geeignet

-Der Rangkorrelationskoeffizient ändert sich nicht durch monotone Transformationen

-Besser für ordinal skalierte Variablen geeignet

R:

r1 <- rank(x1)

r2 <- rank(x2)

cor(x,y,method=“spearman“)

Statistische Methoden I

Methode der kleinsten Quadrate (KQ, OLS)

Bisher: Regressionsgerade ý=a+b*x

Aber wie kommen wir auf a und b?

Ansatz: Die Abweichungen ei = yi-ýi sollen möglichst klein sein

b = cxy/s^2_x

a = ^y-b*^x

Operationalisierung: Summe der quadrierten Abweichungen

Statistische Methoden I

Summen zweier Merkmale

Gegeben:
-Die Verteilung der Variablen X und Y

-Insbesondere ^x,^y,sx^2,sy^2,cxy

-Eine weitere Variable Z als Summe aus beiden:

zi = xi + yi

Eigenschaften von Z:
^z = ^x+^y
sz^2 = sx^2 + sv^2 + 2cxy

^sz^2 = sx^2 + ^sy^2 + 2^cxy

Die Varianz der Summe sz^2 ist also groß, wenn
-die Varianzen der Summanden sx^2, sy^2 groß sind
-die Kovarianz cxy groß ist

Allgemeiner:

zi = b1xi + b2yi

Statistische Methoden I

Diskrete und stetige Variablen gemischt

  • Diskrete Variable x, stetige Variable y 
  • Wir können Verteilungen von y bedingt auf einzelne x betrachten.
    – Unter-Datensätze für gegebene x-Werte extrahieren
    – Jeweils die Verteilung von y betrachten, z.B. Maßzahlen berechnen
  • Praktischer: Analyse mit dem dplyr-Paket
    – Datensatz gruppieren mit group_by()
    – Maßzahlen berechnen mit summarize()
    – Ergebnis: Datensatz mit Maßzahlen

R graphisch:
– Möglichkeit 1: … + stat_boxplot()

– Möglichkeit 2: … + geom_violin()

Gradient

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