Funktionalanylysis an der Universität Bonn | Karteikarten & Zusammenfassungen

Lernmaterialien für Funktionalanylysis an der Universität Bonn

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TESTE DEIN WISSEN

Satz von Baire

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TESTE DEIN WISSEN

X BR. Dann ist jeder Schnitt abzählbar vielen offenen dichten TM auch dicht.

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TESTE DEIN WISSEN

Baire'scher Kategoriensatz

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TESTE DEIN WISSEN

X BR. Falls X=U A_n, wobei A_n abgeschlossen, (abzählbar viele),

dann enhält mindestens ein A_n einen inneren Punkt.

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TESTE DEIN WISSEN

Satz von Hahn-Banach

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TESTE DEIN WISSEN

"Fortsetzung linearer Abbildung auf mehr Dimensionen":

X VR über K, p Halbnorm (ohne +-definit), Z UR von X, f:Z->K linear, |f(x)| =< p(x) für alle x in Z:

Dann kann f auf ganz X fortgesetzt werden, wobei für die Fortsetzung g |g(x)|=< p(x) gilt.

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TESTE DEIN WISSEN
Def: Schwache Konvergenz
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TESTE DEIN WISSEN
x_n schwach konvergent gegen x falls x‘(x_n)->x‘(x) für alle x‘ aus X’, dem Dualraum von X
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TESTE DEIN WISSEN
Def: Schwach*-Konvergenz 
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TESTE DEIN WISSEN
z_n in X‘ konvergiert schwach* gegen z aus X‘ falls:
z_n(x)->z(x) für alle x aus X
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TESTE DEIN WISSEN
Def: kompakt
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TESTE DEIN WISSEN
M TM von X ist kompakt falls jede Folge in M eine in M konvergente TF besitzt
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TESTE DEIN WISSEN
Def: Prä-Kompakt
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TESTE DEIN WISSEN
M TM von X ist prä-kompakt, falls jede Folge in M eine in X konvergente TF hat.
Im R^n ist dies also äquivalent zu beschränkt.
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TESTE DEIN WISSEN
Def: Kompakter Operator
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TESTE DEIN WISSEN
Es sei K:X->Y eine lineare Abb, X &Y NVR dann heißt K kompakt falls:
x_n in X ist beschränkt dann hat K(x_n) eine konvergente TF
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TESTE DEIN WISSEN
Fredholm Alternative 
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TESTE DEIN WISSEN
X BR, K:X->X kompakt:
Dann gilt: sigma(K) = sigma_p(K) U {0}
Andere Formulierung:
Falls lambda ungleich 0 dann gilt entweder lambda in sigma_p(K) oder lambda*1-K ist invertierbar (d.h. Lambda ist nicht in sigma(K))
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TESTE DEIN WISSEN
Riesz‘sches Lemma
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TESTE DEIN WISSEN
X NVR, U echte TM von X und abgeschlossen, 0<lambda<1:
Dann gibt es x in X mit ||x||=1 sodass
||x-u||>lambda für alle u aus U
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TESTE DEIN WISSEN
Spektralsatz kompakter Operator (K):
Was ist mit den Eigenräumen zu lambda ungleich Null?
Was für Aussagen kann man über die Eigenwerte treffen?
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TESTE DEIN WISSEN
Für einen Eigenwert lambda ungleich Null gilt: dim(N(lamda*1-K))<unendlich 
Die Menge der Eigenwerte ist abzählbar, und hat höchstens Null als HP.
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TESTE DEIN WISSEN
Spektralsatz für selbstadjungierte kompakte Operatoren im HR:
- Aussagen über EW
- Eigen-ONB?
- Darstellung des Operators K
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TESTE DEIN WISSEN
(Wie für nur kompakt) sind die EW abzählbar und häufen sich höchstens um Null
Es gibt eine ONB von dem Orthogonal von N(K) (TM von HR X) aus Eigenfinktionen
Falls lambda_n EW zu v_n ist gilt:
Kx =Summe( lambda_n Sp(v_n,x) v_n )
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Q:

Satz von Baire

A:

X BR. Dann ist jeder Schnitt abzählbar vielen offenen dichten TM auch dicht.

Q:

Baire'scher Kategoriensatz

A:

X BR. Falls X=U A_n, wobei A_n abgeschlossen, (abzählbar viele),

dann enhält mindestens ein A_n einen inneren Punkt.

Q:

Satz von Hahn-Banach

A:

"Fortsetzung linearer Abbildung auf mehr Dimensionen":

X VR über K, p Halbnorm (ohne +-definit), Z UR von X, f:Z->K linear, |f(x)| =< p(x) für alle x in Z:

Dann kann f auf ganz X fortgesetzt werden, wobei für die Fortsetzung g |g(x)|=< p(x) gilt.

Q:
Def: Schwache Konvergenz
A:
x_n schwach konvergent gegen x falls x‘(x_n)->x‘(x) für alle x‘ aus X’, dem Dualraum von X
Q:
Def: Schwach*-Konvergenz 
A:
z_n in X‘ konvergiert schwach* gegen z aus X‘ falls:
z_n(x)->z(x) für alle x aus X
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Q:
Def: kompakt
A:
M TM von X ist kompakt falls jede Folge in M eine in M konvergente TF besitzt
Q:
Def: Prä-Kompakt
A:
M TM von X ist prä-kompakt, falls jede Folge in M eine in X konvergente TF hat.
Im R^n ist dies also äquivalent zu beschränkt.
Q:
Def: Kompakter Operator
A:
Es sei K:X->Y eine lineare Abb, X &Y NVR dann heißt K kompakt falls:
x_n in X ist beschränkt dann hat K(x_n) eine konvergente TF
Q:
Fredholm Alternative 
A:
X BR, K:X->X kompakt:
Dann gilt: sigma(K) = sigma_p(K) U {0}
Andere Formulierung:
Falls lambda ungleich 0 dann gilt entweder lambda in sigma_p(K) oder lambda*1-K ist invertierbar (d.h. Lambda ist nicht in sigma(K))
Q:
Riesz‘sches Lemma
A:
X NVR, U echte TM von X und abgeschlossen, 0<lambda<1:
Dann gibt es x in X mit ||x||=1 sodass
||x-u||>lambda für alle u aus U
Q:
Spektralsatz kompakter Operator (K):
Was ist mit den Eigenräumen zu lambda ungleich Null?
Was für Aussagen kann man über die Eigenwerte treffen?
A:
Für einen Eigenwert lambda ungleich Null gilt: dim(N(lamda*1-K))<unendlich 
Die Menge der Eigenwerte ist abzählbar, und hat höchstens Null als HP.
Q:
Spektralsatz für selbstadjungierte kompakte Operatoren im HR:
- Aussagen über EW
- Eigen-ONB?
- Darstellung des Operators K
A:
(Wie für nur kompakt) sind die EW abzählbar und häufen sich höchstens um Null
Es gibt eine ONB von dem Orthogonal von N(K) (TM von HR X) aus Eigenfinktionen
Falls lambda_n EW zu v_n ist gilt:
Kx =Summe( lambda_n Sp(v_n,x) v_n )
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