Statistik II an der Universität Bochum

CitySTADT: Bochum

CountryLAND: Deutschland

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Eigenschaften der t-Verteilung

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Anzahl der Freiheitsgrade für den Mittelwert:

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Anzahl der Freiheitsgrade für die Varianz

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Die optimale Stichprobengröße

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Unabhängige vs. abhängige Stichproben

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Voraussetzungen des t-Tests für unabhängige Stichproben

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Verletzung der Normalverteilungsannahme

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Was sind abhängige Stichproben?

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Kovarianz und Korrelation bei abhängigen Stichproben

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Der t-Test für abhängige Stichproben

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Voraussetzungen des t-Tests für abhängige Stichproben

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Statistische Teststärke und Kovarianz

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Statistik II

Eigenschaften der t-Verteilung
Form der t-Verteilung
–Symmetrisch
–Glockenförmig
–Mittelwert (Erwartungswert) = Median = Modus = 0
•Die t-Verteilung ist breiter und flacher als die
Standardnormalverteilung
•Bei großer Anzahl df geht die t-Verteilung in die
Standardnormalverteilung über

Statistik II

Anzahl der Freiheitsgrade für den Mittelwert:
Anzahl aller Komponenten
(n+ 1) minus Anzahl fest –
gelegter Komponenten (1)
df= n+ 1 –1 = n

Statistik II

Anzahl der Freiheitsgrade für die Varianz
Anzahl aller Komponenten
(n+ 2) minus Anzahl fest –
gelegter Komponenten (3)
df= n+ 2 –3 = n–1

Statistik II

Die optimale Stichprobengröße
*Ziel: Fehlerwahrscheinlichkeiten so weit wie möglich minimieren
•α-Fehler -Wahrscheinlichkeit wird a priori festgesetzt
•β-Fehler -Wahrscheinlichkeit hängt von verschiedenen
Einflussgrößen ab
–α-Fehler
–Stärke des Effekts
–Populationsstreuung
–Stichprobengröße
•Wir können nur die Stichprobengröße beeinflussen bei der
Versuchsplanung die optimale Stichprobengröße bestimmen

*Die optimale Stichprobe ist
–nicht zu klein (da sonst die Teststärke zu gering ist)
–nicht zu groß (da sonst die Datenerhebung zu teuer wäre)
•Zur Bestimmung der optimalen Stichprobengröße benötigt
man mindestens
–das geplante Signifikanzniveau ( α= .05 oder α= .01)
–die geplante Teststärke (meistens 1 –β= .80) die erwartete Effektgröße (z.B. mittlerer Effekt d= .35)
•Zusätzlich benötigt man je nach statistischem Verfahren noch
weitere Angaben

Statistik II

Unabhängige vs. abhängige Stichproben
*In beiden Datenbeispielen interessiert uns der Vergleich zweier
Mittelwerte
–Zum Vergleich von drei oder mehr Mittelwerten siehe Varianzanalyse
•Fragestellung 1 bezieht sich auf unabhängige Stichproben
–Messwerte zwischen den Gruppen sind unabhängig, d.h. einzelne
Messwerte in einer Gruppe beeinflussen nicht die Messwerte in der
anderen Gruppe
•Fragestellung 2 bezieht sich auf abhängige Stichproben
–Jedem Wert der einen „Stichprobe“ (hier: Variable) kann genau ein Wert der
anderen „Stichprobe“ eindeutig zugeordnet werden Wertepaare

Statistik II

Voraussetzungen des t-Tests für unabhängige Stichproben
– Messwerte zwischen den Teilstichproben müssen unabhängig sein („unabhängige Stichproben“)
– Messwerte innerhalb der beiden Teilstichproben müssen
unabhängig sein (z.B. keine Untergruppen)
– Das Merkmal muss in beiden Teilpopulationen stetig und normalverteilt sein
– Die Varianzen innerhalb der beiden Teilpopulationen müssen homogen sein ( Homoskedastizität )

Statistik II

Verletzung der Normalverteilungsannahme
– Normalverteilungsannahme stellt sicher, dass die Prüfgröße t-verteilt ist
– Normalverteilung kann visuell und statistisch geprüft werden (z.B.
Kolmogorov -Smirnov -Test, Eid et al. Kap. 10.6.1)
– Zentraler Grenzwertsatz : Bei ausreichend großen Teilstichproben (jeweils ni> 30) ist die Stichprobenkennwerteverteilung der Mittelwerts -Differenz approximativ normalverteilt
– Zum Umgang mit Verletzungen der Normalverteilungsannahme
bei kleinen Stichproben s. Eid et al. (S. 336)

Statistik II

Was sind abhängige Stichproben?
*Ein Messwert in Stichprobe 1 wird durch einen Messwert in
Stichprobe 2 beeinflusst (und umgekehrt)
•Typischerweise der Fall, wenn Messwertpaare gebildet werden
können
•Beispiele
–Messwiederholung
–Natürliche Paare
–Parallelisierung bzw. Matching

Statistik II

Kovarianz und Korrelation bei abhängigen Stichproben
*Das Vorliegen von Messwertpaaren ermöglicht die Berechnung der Korrelation bzw. Kovarianz der beiden Variablen
•Korrelation = 0 bedeutet vollständige Unabhängigkeit
•Je größer die Korrelation, desto größer die Abhängigkeit, d.h. desto mehr hängt die Ausprägung eines Messwerts von der Ausprägung des anderen Messwerts ab
•Entscheidender Unterschied
–t-Test für unabhängige Stichproben: Messwerte sind unkorreliert
–t-Test für abhängige Stichproben: Messwerte sind korreliert

Statistik II

Der t-Test für abhängige Stichproben
•Prüft, ob die Mittelwerte zweier
abhängiger Stichproben voneinander abweichen •Anders formuliert: Prüft, ob der
Mittelwert der Differenzvariablen D
(dm= xm1–xm2) von Null abweicht
•Mittelwert unserer Differenzvariablen
> mean (gassi$diff )
[1] -0.7

Statistik II

Voraussetzungen des t-Tests für abhängige Stichproben
*Messwerte innerhalb einer Stichprobe müssen voneinander unabhängig sein
•Die Differenzvariable Dmuss in der Population normalverteilt sein
–Aber der t-Test für abhängige Stichproben ist robust gegenüber
Verletzungen dieser Annahme bei ausreichend großen
Stichproben
–Vgl. Einstichproben -t-Test

Statistik II

Statistische Teststärke und Kovarianz
*Teststärke = Wahrscheinlichkeit, einen vorhandenen Effekt
tatsächlich aufzudecken
•Wir wissen bereits: Je stärker der Effekt, desto höher die
statistische Teststärke
•Beim t-Test für abhängige Stichproben hängt die Effektgröße von
der Streuung der Differenzvariablen ab
*Die Streuung der Differenzvariablen hängt wiederum von der Kovarianz ab
Gradient

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