Zahlen & Operationen an der Universität Bielefeld

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Logische Operationen nach Piaget

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Klassifizieren (nach Piaget)

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Seriation (nach Piaget)
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Vergleichen (nach Piaget)

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Klasseninklusion (nach Piaget)

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Eins-zu-eins-Zuordnung (nach Piaget)

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Mengeninvarianz (nach Piaget)
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Entwicklung der Zählkompetenz

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Frühes Stadium der Entwicklung der Zählkompetenz

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Phänomene beim Erwerb der Zahlwortreihe

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Zählprinzipien 
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Erwerb der Zahlwortreihe (Fortsetzung der Zählprinzipien)

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Zahlen & Operationen

Logische Operationen nach Piaget
- Klassifikation
- Seriation
- Vergleichen
- Klasseninklusion
- Eins-zu-eins-Zuordnung
- Mengeninvarianz

Zahlen & Operationen

Klassifizieren (nach Piaget)
Was gehört zusammen?
Was passt nicht dazu? Wenn ja, warum, wenn nein, warum nicht?
= Fähigkeit, verschiedene Objekte aufgrund gewisser Merkmale zusammenzufassen
1. Einfache Klassifizierung (z.B. „alle Blauen)
2. Multiple Klassifizierung (z.B. „alle blauen Dreiecke)

Zahlen & Operationen

Seriation (nach Piaget)
= Bildung von Reihenfolgen; Objekte werden nach bestimmten Merkmalen geordnet (z.B. nach Größe)
- Fähigkeit zur Seriation ist bedeutsam für das Verständnis von Nachbarzahlen 
- Grundkompetenz im Bereich Größen & Messen 

Zahlen & Operationen

Vergleichen (nach Piaget)
Nach bestimmten Gesichtspunkten vergleichen 
nach quantitativen Kriterien (Anzahl, Länge, etc.)
nach qualitativen Kriterien (Farbe, Form, etc.)
- Ausbilden von Begriffen ist wichtig (mehr, weniger, die meisten, ...)
- Grundkompetenz im Bereich Größen & Messen

Zahlen & Operationen

Klasseninklusion (nach Piaget)
= Beziehung einer Teilmenge zur Gesamtmenge
= Eingeschlossensein einer Unterklasse in eine Oberklasse
- Verständnis von Klasseninklusion als Vorläufer für Teile-Ganzes-Verständnis 
- Verständnis von Klasseninklusion wichtig für verständnisvolles Zählen

Zahlen & Operationen

Eins-zu-eins-Zuordnung (nach Piaget)
= Vergleich von Mengen in Bezug auf ihre Mächtigkeit
- Frage nach der Gleichmächtigkeit der Mengen 
- entscheidende Komponente beim Abzählen
-> Bekommt jedes Männchen einen Hut?

Zahlen & Operationen

Mengeninvarianz (nach Piaget)
= Erkenntnis, dass räumliche Ausdehnung der Objekte keinen Einfluss auf Anzahl der Objekte hat 
- wesentlich beim Aufbau von Mengenverständnis

Zahlen & Operationen

Entwicklung der Zählkompetenz
1. Aufsagen der Zahlwortreihe („Kannst du denn schon zählen?“)
2. Bestimmten der Mächtigkeit von Mengen („Wie viele sind es denn, zählst du mal?“)

Zahlen & Operationen

Frühes Stadium der Entwicklung der Zählkompetenz
Kinder unterscheiden Zahlwörter von anderen Eigenschaftswörtern aus dem Sprachkontext heraus: Zahlwörtern geht häufig kein Artikel voraus.

Individuelle Zahlwortreihe
Zahlwörter werden zunächst in einer individuellen Zahlwortreihe, oftmals nicht in der richtigen Reihenfolge, verwendet.

Zahlen & Operationen

Phänomene beim Erwerb der Zahlwortreihe
- Endlosschleife (38, 39, 20, 21, 22, ... 38, 29, 20, ...)
- Überspringen von (Zehner-)Zahlen, Auslassen von „Schnapszahlen“)
- Verwechseln von -zehn und -zig
- Wortneuschöpfungen durch Regelübertragungen
   - zweizehn für zwölf, zweizig für 20
   - einhundert statt hunderteins

Zahlen & Operationen

Zählprinzipien 
Eindeutigkeitsprinzip (one-one principle)
Jedem Element der zu zählenden Kollektion wird genau ein Zahlwort zugeordnet.

Prinzip der stabilen Ordnung (stable-order principle)
Die Zahlwörter müssen in einer stabilen, d.h. stets in gleicher Weise wiederholbaren Reihenfolge vorliegen.

Kardinalprinzip (cardinal  principle)
Das letzte Zahlwort, das bei einem Zählprozess benutzt wird, gibt die (Kardinal-)Zahl, d.h. die Anzahl der Kollektion an. 

Zahlen & Operationen

Erwerb der Zahlwortreihe (Fortsetzung der Zählprinzipien)
Abstraktionsprinzip (abstraction principle)
Die ersten drei „how-to-count“ Prinzipien können bei beliebigen Objekten angewandt werden:
- bei realen Gegenständen ebenso wie bei gedanklichen Überlegungen
- bei Mengen mit gleichen ebenso wie bei Mengen mit verschiedenen Elementen

Prinzip der Irrelevanz der Anordnung (order-irrelevance  principle)
Die jeweilige Anordnung der Objekte ist für den Zählakt irrelevant. 

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