Lernmaterialien für Stochastik an der Universität Bielefeld

Jeder mögliche Ausgang des Zufallsexperimentes.

Beispiel: 

Der Wurf eines Würfels soll modelliert werden. Mögliche Ausgänge sind die Zahlen von 1 bis 6. 

• Grundmenge Omega ist Element der Sigma-Algebra
• Die Komplemente jeder Menge müssen enthalten sein
• Die Vereinigung aller Mengen muss auch wieder enthalten sein

Als Ergebnisraum bezeichnet man im die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments.

Eine Topologie ist ein Mengensystem T bestehend aus Teilmengen einer Grundmenge X , die offen oder offene Mengen genannt werden, und die die folgenden Axiome erfüllen:

• Die leere Menge und die Grundmenge X  sind offen.
• Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen. (Es genügt zu fordern, dass der Durchschnitt von zwei offenen Mengen offen ist.)
• Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.

Man nennt dann T eine Topologie auf X , und das Paar ( X , T )  einen topologischen Raum.

Gegeben sei ein topologischer Raum  (X,O), wobei O das Mengensystem der offenen Mengen ist.

Dann heißt die von O erzeugte σ-Algebra die borelsche σ-Algebra. Sie wird mit B ( X ) bezeichnet oder, wenn die Menge X aus dem Kontext ersichtlich ist, auch als B.

Es ist also B ( X ) := σ ( O ). Somit ist die borelsche σ-Algebra per Definition die (bezüglich Mengeninklusion) kleinste σ-Algebra, die alle offenen Mengen enthält.

Ein Teilmengensystem A auf einer Menge M heißt durchschnittsstabil, wenn für je zwei Mengen S , T ∈ A auch der Durchschnitt S ∩ T zu A gehört.

Ein Mengensystem, also eine Menge von Mengen. Besonders ist hier die Vereinigungsstabilität. Ebenfalls kann ein Ring nicht leer sein und muss stabil bezüglich der Differenz sein.

Ein Maß ist in der Mathematik eine Funktion, die geeigneten Teilmengen einer Grundmenge Zahlen zuordnet, die als „Maß“ für die Größe dieser Mengen interpretiert werden können.

Es sei A eine σ-Algebra über einer nicht-leeren Grundmenge Ω. Eine Funktion μ : A → [ 0 , ∞ ]heißt Maß auf A , wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

•  μ (∅) =  0
• σ-Additivität: Für jede Folge (An) n∈N paarweise disjunkter Mengen aus A gilt, dass die Addition dieser Mengen gleich der Summe der Teilmengen ist.

Der Satz von Vitali besagt, dass es eine Teilmenge der reellen Zahlen gibt, die nicht lesbegue-messbar ist. Jede durch den Beweis entstandene Menge wird Vitali-Menge genannt.

Menge, in der jedes Element von einem Element der gleichen Menge umgeben ist. Kein Element liegt auf dem Rand.

Beispiel: 

• (0,1) auf R -> jedes Element aus dem Intervall hat ein Element aus dem Intervall neben sich
• [0,1] auf R-> das Element "1" hat kein Element mehr rechts neben sich -> keine offene Menge

= gibt an, über welche Menge eine Aussage getroffen werden kann

Ein Tupel (Ω, A) heißt Messraum oder messbarer Raum, wenn

• Ω eine beliebige Grundmenge ist und
• A eine σ-Algebra auf dieser Grundmenge ist.