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Lernmaterialien für Stochastik an der Universität Bielefeld

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TESTE DEIN WISSEN

Was ist ein Ergebnis?

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TESTE DEIN WISSEN

Jeder mögliche Ausgang des Zufallsexperimentes.


Beispiel: 

Der Wurf eines Würfels soll modelliert werden. Mögliche Ausgänge sind die Zahlen von 1 bis 6. 

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Was sind die drei Eigenschaften einer Sigma-Algebra?

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  • Grundmenge Omega ist Element der Sigma-Algebra
  • Die Komplemente jeder Menge müssen enthalten sein
  • Die Vereinigung aller Mengen muss auch wieder enthalten sein
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Was ist ein Ergebnisraum?

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Als Ergebnisraum bezeichnet man im die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments.


Beispiel: 
Beim Würfeln mit einem Würfel lautet der Ergebnisraum:  {1,2,3,4,5,6}



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Was ist ein topologischer Raum?

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Eine Topologie ist ein Mengensystem T bestehend aus Teilmengen einer Grundmenge X , die offen oder offene Mengen genannt werden, und die die folgenden Axiome erfüllen:

  • Die leere Menge und die Grundmenge X  sind offen.
  • Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen. (Es genügt zu fordern, dass der Durchschnitt von zwei offenen Mengen offen ist.)
  • Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.

Man nennt dann T eine Topologie auf X , und das Paar ( X , T )  einen topologischen Raum.

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Was ist die Borelsche-σ-Algebra?

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Gegeben sei ein topologischer Raum  (X,O), wobei O das Mengensystem der offenen Mengen ist.

Dann heißt die von O erzeugte σ-Algebra die borelsche σ-Algebra. Sie wird mit B ( X ) bezeichnet oder, wenn die Menge X aus dem Kontext ersichtlich ist, auch als B.

Es ist also B ( X ) := σ ( O ). Somit ist die borelsche σ-Algebra per Definition die (bezüglich Mengeninklusion) kleinste σ-Algebra, die alle offenen Mengen enthält.


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Was heißt durchschnittsstabil?

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Ein Teilmengensystem A auf einer Menge M heißt durchschnittsstabil, wenn für je zwei Mengen S , T ∈ A auch der Durchschnitt S ∩ T zu A gehört.

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Was ist ein Mengenring?

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Ein Mengensystem, also eine Menge von Mengen. Besonders ist hier die Vereinigungsstabilität. Ebenfalls kann ein Ring nicht leer sein und muss stabil bezüglich der Differenz sein.

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Was ist ein Maß?

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Ein Maß ist in der Mathematik eine Funktion, die geeigneten Teilmengen einer Grundmenge Zahlen zuordnet, die als „Maß“ für die Größe dieser Mengen interpretiert werden können.

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Was sind die zwei Bedingungen für ein Maß?

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Es sei A eine σ-Algebra über einer nicht-leeren Grundmenge Ω. Eine Funktion μ : A → [ 0 , ∞ ]heißt Maß auf A , wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  •  μ (∅) =  0
  • σ-Additivität: Für jede Folge (An) n∈N paarweise disjunkter Mengen aus A gilt, dass die Addition dieser Mengen gleich der Summe der Teilmengen ist.
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Was besagt der Satz von Vitali?

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Der Satz von Vitali besagt, dass es eine Teilmenge der reellen Zahlen gibt, die nicht lesbegue-messbar ist. Jede durch den Beweis entstandene Menge wird Vitali-Menge genannt.

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Was ist eine offene Menge?

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Menge, in der jedes Element von einem Element der gleichen Menge umgeben ist. Kein Element liegt auf dem Rand.


Beispiel: 

  • (0,1) auf R -> jedes Element aus dem Intervall hat ein Element aus dem Intervall neben sich
  • [0,1] auf R-> das Element "1" hat kein Element mehr rechts neben sich -> keine offene Menge


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Was ist ein Messraum?

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TESTE DEIN WISSEN

= gibt an, über welche Menge eine Aussage getroffen werden kann

Ein Tupel (Ω, A) heißt Messraum oder messbarer Raum, wenn

  • Ω eine beliebige Grundmenge ist und
  • A eine σ-Algebra auf dieser Grundmenge ist.
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Q:

Was ist ein Ergebnis?

A:

Jeder mögliche Ausgang des Zufallsexperimentes.


Beispiel: 

Der Wurf eines Würfels soll modelliert werden. Mögliche Ausgänge sind die Zahlen von 1 bis 6. 

Q:

Was sind die drei Eigenschaften einer Sigma-Algebra?

A:
  • Grundmenge Omega ist Element der Sigma-Algebra
  • Die Komplemente jeder Menge müssen enthalten sein
  • Die Vereinigung aller Mengen muss auch wieder enthalten sein
Q:

Was ist ein Ergebnisraum?

A:

Als Ergebnisraum bezeichnet man im die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments.


Beispiel: 
Beim Würfeln mit einem Würfel lautet der Ergebnisraum:  {1,2,3,4,5,6}



Q:

Was ist ein topologischer Raum?

A:

Eine Topologie ist ein Mengensystem T bestehend aus Teilmengen einer Grundmenge X , die offen oder offene Mengen genannt werden, und die die folgenden Axiome erfüllen:

  • Die leere Menge und die Grundmenge X  sind offen.
  • Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen. (Es genügt zu fordern, dass der Durchschnitt von zwei offenen Mengen offen ist.)
  • Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.

Man nennt dann T eine Topologie auf X , und das Paar ( X , T )  einen topologischen Raum.

Q:

Was ist die Borelsche-σ-Algebra?

A:

Gegeben sei ein topologischer Raum  (X,O), wobei O das Mengensystem der offenen Mengen ist.

Dann heißt die von O erzeugte σ-Algebra die borelsche σ-Algebra. Sie wird mit B ( X ) bezeichnet oder, wenn die Menge X aus dem Kontext ersichtlich ist, auch als B.

Es ist also B ( X ) := σ ( O ). Somit ist die borelsche σ-Algebra per Definition die (bezüglich Mengeninklusion) kleinste σ-Algebra, die alle offenen Mengen enthält.


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Q:

Was heißt durchschnittsstabil?

A:

Ein Teilmengensystem A auf einer Menge M heißt durchschnittsstabil, wenn für je zwei Mengen S , T ∈ A auch der Durchschnitt S ∩ T zu A gehört.

Q:

Was ist ein Mengenring?

A:

Ein Mengensystem, also eine Menge von Mengen. Besonders ist hier die Vereinigungsstabilität. Ebenfalls kann ein Ring nicht leer sein und muss stabil bezüglich der Differenz sein.

Q:

Was ist ein Maß?

A:

Ein Maß ist in der Mathematik eine Funktion, die geeigneten Teilmengen einer Grundmenge Zahlen zuordnet, die als „Maß“ für die Größe dieser Mengen interpretiert werden können.

Q:

Was sind die zwei Bedingungen für ein Maß?

A:

Es sei A eine σ-Algebra über einer nicht-leeren Grundmenge Ω. Eine Funktion μ : A → [ 0 , ∞ ]heißt Maß auf A , wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  •  μ (∅) =  0
  • σ-Additivität: Für jede Folge (An) n∈N paarweise disjunkter Mengen aus A gilt, dass die Addition dieser Mengen gleich der Summe der Teilmengen ist.
Q:

Was besagt der Satz von Vitali?

A:

Der Satz von Vitali besagt, dass es eine Teilmenge der reellen Zahlen gibt, die nicht lesbegue-messbar ist. Jede durch den Beweis entstandene Menge wird Vitali-Menge genannt.

Q:

Was ist eine offene Menge?

A:

Menge, in der jedes Element von einem Element der gleichen Menge umgeben ist. Kein Element liegt auf dem Rand.


Beispiel: 

  • (0,1) auf R -> jedes Element aus dem Intervall hat ein Element aus dem Intervall neben sich
  • [0,1] auf R-> das Element "1" hat kein Element mehr rechts neben sich -> keine offene Menge


Q:

Was ist ein Messraum?

A:

= gibt an, über welche Menge eine Aussage getroffen werden kann

Ein Tupel (Ω, A) heißt Messraum oder messbarer Raum, wenn

  • Ω eine beliebige Grundmenge ist und
  • A eine σ-Algebra auf dieser Grundmenge ist.
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