statistik an der TU München

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Variablen der Grundgesamtheit und Stichprobe

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Definition der Regressionsanalyse

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Grundlagen des Korrelationskoeffizienten nach  Bravais-Pearson

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Kontingenzkoeffizienten:

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Problematik der Bindungen beim Korrelationskoeffizienten nach Spearman
Spearman:

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Grundlagen des Korrelationskoeffizienten nach Spearman

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Interpretation der Maßzahl des Kontingenzkoeffizienten

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Definition des Korrelationskoeffizienten und Kontingenzkoeffizienten:

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Definition der Korrelation und Kontingenz

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Unabhängigkeiten von Merkmalen

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Grundlage der (Un -)Abhängigkeit von Merkmalen Merkmalen:

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Grundlagen der linearen Regressionsfunktion

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Variablen der Grundgesamtheit und Stichprobe

Um in der induktiven Statistik zwischen der Grundgesamtheit und der Stichprobe zu unterscheiden, verwendet man folgende Variable:

Variable für die Grundgesamtheit:
Für die Grundgesamtheit aller Daten/Elemente wird der Großbuchstabe 𝑁vergeben.

Variable für die Stichprobe:
Für die Stichprobe einer bestimmten Anzahl von Daten/Elementen wird der Kleinbuchstabe 𝑛 vergeben.

Beispiel:
Unser Beispiel mit der Wahlentscheidung hat eine Grundgesamtheit von 𝑁=61,5Millionen, es wurden aber nur 𝑛=1000wahlberechtigte Bürger befragt.

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Definition der Regressionsanalyse

Mittels der Regressionsanalyse soll der Zusammenhang bzw. die Abhängigkeiten zwischen zwei Merkmalen mathematisch mithilfe einer Funktion ausgedrückt werden. Eine
Funktion, welche den Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen ausdrückt bezeichnet man als sogenannte Regressionsfunktion. Mittel seiner Regressionsfunktion lässt sich
bei Vorgabe eines Beobachtungswertes eines Merkmals der Beobachtungwert des anderen Merkmals berechnen bzw. schätzen. Der ber berech nete Beobachtungswert wird als
Schätzwert bezeichnet, da bei einer statistischen Erhebung die tatsächlich erhobenen Merkmalskombinationen meist um die Regre Regressi onsfunktion herum streuen, da in der
Realität selten ein eindeutiger Zusammenhang erhoben werden kann. Deshalb wird auch der berechnete Beobachtungswert der Regre Regressi onsfunktion nicht als
Beobachtungswert, sondern als Schätzwert bezeichnet und mit einem Dachsymbol über der Variable versehen (ො 𝑦). Trotz möglicher Abweichungen von den tatsächlich
beobachteten Merkmalskombinationen dient die Regressionsanalyse dem allgemeinen mathematischen Ausdruck des Zusammenhangs zwe zweier Merkmale.

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Grundlagen des Korrelationskoeffizienten nach  Bravais-Pearson

Der Korrelationskoeffizient nach Bravais
Bravais-Pearson stellt eine Maßzahl für den linearen Zusammenhang zwischen zwei metrisch skalierten Merkmalen dar.

Ein linearer Zusammenhang tritt dann auf, wenn die Merkmalsausprägungen der beiden Merkmale im gleichen Verhältnis kontinuierlich steigen oder fallen, bzw. wenn das Streudiagramm für die Merkmalskombinationen eine steigende/fallende Gerade aufweist. Besteht zwischen zwei metrisch skalierten Merkmalen ein linearer Zusammenhang, so sind die Merkmalskombinationen mitunter (streng) monoton steigend bzw. fallend.

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Kontingenzkoeffizienten:

Der Kontingenzkoeffizient stellt eine Maßzahl für die Ausgeprägtheit/Stärke eines Zusammenhangs zwischen zwei
nominalskalierten Merkmalen dar. Die Angabe der
Stärke/Ausgeprägtheit eines Zusammenhangs trifft keine Aussage darüber, welche Art von Zusammenhang tatsächlich besteht, sond sondern nur, ob ein Zusammenhang vorliegt
oder nicht. Ein starker Zusammenhang besteht also beispielsweise sowohl bei einem linearen Zusammenhang als auch bei einem ni nicht linearen quadratischen
Zusammenhang. Damit liefert der Kontingenzkoeffizient die geringsten Informationen der verschiedenen Koeffizienten.
Merke:
Da der Kontingenzkoeffizient keine Informationen über die Art des Zusammenhangs liefert, besitzt dieser die Eigenschaft der Invarianz . Das bedeutet, dass ein
Vertausch von Spalten oder Zeilen innerhalb der Kontingenztabelle zu keinerlei Veränderung des Kontingenzkoeffizienten führt.

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Problematik der Bindungen beim Korrelationskoeffizienten nach Spearman
Spearman:

Als Bindungen bezeichnet man bei der Berechnung des Korrelationskoeffizienten nach Spearman Merkmalsausprägungen, deren Beoba
Beobacht ungswerte gleich sind. Treten die gleichen Beobachtungswerte für ein Merkmal mehrmals auf, führt dies zwar nicht zu Problemen bei der Sortierung, jedoch bei der Zuordnung von Rängen.

Zur Berechnung des Korrelationskoeffizienten nach Spearman ist es nämlich zwingend notwendig, dass der Rang fortlaufend für jede Merkmalsausprägung ist, sodass der letzte vergebene Rang mit der Gesamtanzahl aller Merkmalskombinationen 𝑛übereinstimmt. Treten entsprechend gleiche Beobachtungswerte (Bindungen) auf, so erhalten die gleichen
Beobachtungswerte verschiedene Ränge, was ebenfalls zu falschen Ergebnissen führt.

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Grundlagen des Korrelationskoeffizienten nach Spearman

Spearman:
Der Korrelationskoeffizient nach Spearman, auch als Rangkorrelationskoeffizient bezeichnet, stellt eine Maßzahl für den monot
one n Zusammenhang zwischen zwei
ordinalskalierten Merkmalen dar. Dabei spricht man von einem gleichgesinnten monotonen Zusammenhang, wenn große Werte von Merkmalsausprägungen de s einen
Merkmals mit großen Werten von Merkmalsausprägungen des anderen Merkmals einhergehen. Ein gegensinniger monotoner Zusammenhan g b esteht, wenn große Werte
des einen Merkmals mit kleinen Werten des anderen Merkmals einhergehen. Obwohl ein linearer Zusammenhang gleichzeitig immer a uch monoton ist, bedeutet dies im
Umkehrschluss nicht, dass ein monotoner Zusammenhang immer auch linear sein muss. Deshalb lässt sich die Art des Zusammenhang s m it dem Korrelationskoeffizienten
nach Spearman nicht eindeutig bestimmen.

Merke:
Ein linearer Zusammenhang ist immer monoton. Ein monotoner Zusammenhang ist jedoch nicht immer auch linear. (Exponentielle Zusammenhänge sind monoton,
aber nicht linear)

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Interpretation der Maßzahl des Kontingenzkoeffizienten

Beim Kontingenzkoeffizienten handelt es sich
nicht um eine standardisierte Maßzahl, die Werte im Bereich von −1und 1[−1;1]annehmen kann. Erst durch die Berechnung des korrigierten Kontingenzkoeffizienten 𝐶𝑘𝑜𝑟𝑟wird die Maßzahl standardisiert und nimmt allerdings nur Werte im Bereich von 0 und 1 [0≤𝐶𝑘𝑜𝑟𝑟≤1]an:
𝐶𝑘𝑜𝑟𝑟=0:Kein Zusammenhang der Merkmale
𝐶𝑘𝑜𝑟𝑟=1:Eindeutiger Zusammenhang der Merkmale

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Definition des Korrelationskoeffizienten und Kontingenzkoeffizienten:

Der Korrelations
Korrelations-bzw. Kontingenzkoeffizient stellt eine mathematische Maßzahl dar, die den Grad bzw. die Ausgeprägtheit/Stärke eines Zusammenhangs wiedergibt.

Die Maßzahl ist standardisiert und soll Werte im Bereich von −1bis 1annehmen [−1,1]. Dabei besagt der Wert 0eines Koeffizienten, dass keinerlei Zusammenhang für die Art/Stärke zwischen den Merkmalen existiert. Je näher sich der Wert jedoch −1oder 1annähert, desto ausgeprägter ist der Zusammenhang.

Je nach Skalierung/Messbarkeit der Merkmale, wobei bei unterschiedlichen Skalen der beiden Merkmale die schwächere Skala ausschlaggebend ist, lassen sich
unterschiedliche Koeffizienten berechnen, die unterschiedliche Zusammenhänge der Merkmale erfassen:

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Definition der Korrelation und Kontingenz

Der Begriff Korrelation bezeichnet einen Zusammenhang zwischen zwei ordinal
ordinal-oder metrisch skalierten Merkmalen.

Der Begriff der Kontingenz hingegen bezeichnet den
Zusammenhang zwischen zwei nominalskalierten Merkmalen.

Dabei sind die Begriffe Korrelation und Kontingenz vollkommen unabhängig davon zu verstehen, welche Art von Zusammenhang tatsächlich zwischen den Merkmalen besteht.

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Unabhängigkeiten von Merkmalen

Die Häufigkeitsverteilung aller Merkmalskombinationen stimmt mit der Multiplikation der jeweiligen Randverteilung überein. 

Das bedeutet, dass die Merkmale unabhängig
voneinander sind. Wäre nur eine Häufigkeit abgewichen, so wären die Merkmale abhängig voneinander gewesen.

Merke:
Welche der beiden Methoden zur Prüfung auf Unabhängigkeit der Merkmale man wählt, bleibt einem selbst überlassen. Jedoch muss mussman beide Methoden nicht bis
zum Ende durchführen, sobald auffällt, dass entweder eine bedingte Verteilung von der Randverteilung abweicht, oder eine ange geb ene Häufigkeit nicht mit der Multiplikation der Randverteilung übereinstimmt. Auch nur eine Abweichung führt bereits dazu, dass die Merkmale abhängig voneinander sind.

ACHTUNG:
Die Prüfung auf Unabhängigkeit trifft keine Aussage darüber, inwieweit bei ermittelter Abhängigkeit die Merkmale voneinander abhängig sind, dafür dient die
Korrelation.

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Grundlage der (Un -)Abhängigkeit von Merkmalen Merkmalen:

Zwischen zwei Merkmalen
𝑋 und 𝑌 kann eine Abhängigkeit oder Unabhängigkeit bestehen. Dabei besagt die Abhängigkeit zweier Merkmale 𝑋und 𝑌, dass ein gewisser
Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen besteht. Das bedeutet, dass mittels des Wissens einer Merkmalsausprägung in gewiss em Maße auf die
Merkmalsausprägung des anderen Merkmals geschlossen werden kann.

Die Unabhängigkeit hingegen besagt, dass keinerlei Zusammenh ang zwischen den beiden Merkmalen
besteht, entsprechend existiert keinerlei Zusammenhang zwischen den Merkmalsausprägungen.

Beispiel der Abhängigkeit zweier Merkmale:
Die beiden Merkmale Körpergröße und Gewicht sind beispielsweise in gewissem Maße abhängig voneinander.

So ist davon auszugehe n, dass mit steigender Körpergröße auch das Gewicht in gewissem Maße steigt.

Beispiel der Unabhängigkeit zweier Merkmale:
Die beiden Merkmale Geschlecht und Nationalität sind beispielsweise unabhängig voneinander. Mittels des Wissens über das Geschlechts eines Menschen lässt sich keine Aussage über dessen Herkunft treffen.

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Grundlagen der linearen Regressionsfunktion

Die lineare Regressionsfunktion soll den mathematischen Zusammenhang zwischen zwei annähernd linear zusammenhängenden Merkmal
Merkmalen wiedergeben. Dabei sind die
Variablen der allgemeinen linearen Regressionsfunktion so zu wählen, dass die Summe der quadratischen Abweichungen der tatsäc hli chen Merkmalsausprägungen von der
Regressionsgeraden so gering wie möglich sind. Die Abweichungen von der Regressionsgeraden sind dann so gering wie möglich, w wenn die Regressionsgerade durch den
Punkt (ҧ 𝑥,ത 𝑦), also durch den Punkt aus der Kombination der arithmetischen Mittel der Merkmale 𝑋und 𝑌verläuft. Mittels eines Punktes lässt sich aber noch keine Gerade
zeichnen, weshalb die sogenannten Regressionskoeffizienten 𝑎und 𝑏der allgemeinen Regressionsfunktion zu bestimmen sind. Der Regressionskoeffizient 𝑎gibt den
Schnittpunkt der y y-Achse wieder, womit ein zweiter Punkt vorhanden ist. Der Regressionskoeffizient 𝑏hingegen gibt die notwendige Steigung zwischen den beiden Punkten
wieder. Ist der Anfangspunkt der Regressionsgeraden und die Steigung eindeutig bestimmt, kann die Regressionsgerade Schätzwer Schätzwerte für die Merkmalsausprägungen ො 𝑦𝑖bei
Veränderung des Beobachtungswertes der Merkmalsausprägung 𝑥𝑖liefern.

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