Mathe an der TU München

Karteikarten und Zusammenfassungen für Mathe an der TU München

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Reelle Zahlenfolge

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Was sind Glieder der Folge?

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Folgen können auch als diskrete Funktion aufgefasst werden. Wie ist das Bildungsgesetz der Folge formuliert?

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Formuliere das Bildungsgesetz:
<an> = -1/2; -1/4; -1/6; ...

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<an> = 0; 1/2; 2/3; ...

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Definition des Grenzwert einer Folge

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Definizion Konvergenz

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Definition Disvergenz

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Grenzwert einer Funktion

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linksseitiger Grenzwert

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rechtsseitiger Grenzwert

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Definition Grenzwert

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Mathe

Reelle Zahlenfolge
Jeder positiven ganzen Zahl n wird eindeutig eine reelle Zahl a​n zugeordnet. Die unendliche Menge reelle Zahlen a​1, a​2,... nennt man reelle Zahlenfolge(Folge).​​​​​​​​​

Mathe

Was sind Glieder der Folge?
{an}=<an>=a1, a2, a3, ..., an, ... (Glieder der Folge)
(n Element aus N+)

Mathe

Folgen können auch als diskrete Funktion aufgefasst werden. Wie ist das Bildungsgesetz der Folge formuliert?
an = f(n)
(n Element aus N+)

Mathe

Formuliere das Bildungsgesetz:
<an> = -1/2; -1/4; -1/6; ...
an = -1/2n
(n Element aus N+)

Mathe

Formuliere das Bildungsgesetz:
<an> = 0; 1/2; 2/3; ...
an = (n-1)/n = 1 - (1/n)
(n Element aus N+)

Mathe

Definition des Grenzwert einer Folge
Man bezeichnet die reelle Zahl g als Grenzwert oder Limes einer Folge <an>, wenn zu jedem E>0 eine natürliche Zahl n>0 existiert, sodass für n>=n0 stehts gilt:
|an - g| < E
Eine Folge kann höchstens einen Grenzwert besitzen!

Mathe

Definizion Konvergenz
Existiert für die Folge <an> ein Grenzwert, dann bezeichnet man <an> als konvergent.
lim(n->unendl.) an = g

Mathe

Definition Disvergenz
Existiert für <an> kein Grenzwert, dann ist <an> disvergent.

Mathe

Grenzwert einer Funktion
Untersucht wird das Verhalten einer Funktion f(x) in der Nähe der Stelle x0. Dies ist auch möglich, wenn für x0 kein Funktionswert f(x0) definiert ist.
f(x) ist in der Umgebung von x0 definiert(muss aber nicht zwangsläufig direkt bei x0 definiert sein).
Gilt nun für jede konvergierende Zahlenfolge <xn> mit xn ungl. x0:
lim(n -> unendl.) f(xn) = g
dann bezeichnet man g als Grenzwert von y=f(x) an der Stelle x0.
lim(x -> unendl.) f(x) = g
(x kommt x0 beliebig nahe, erreicht es aber nie!)

Mathe

linksseitiger Grenzwert
Falls gilt
lim(x -> x0 (x < x0)) = g
dann bezeichnet man gl als linksseitigen Grenzwert von f(x).

Mathe

rechtsseitiger Grenzwert
Falls gilt
lim(x -> x0 (x > x0)) = g
dann bezeichnet man gl als linksseitigen Grenzwert von f(x).

Mathe

Definition Grenzwert
Falls f(x) bei x0 einen Grenzwert besitzt, gilt:
lim(x->unendl.(x<x0)) f(x) = lim(x->unendl.(x>x0)) f(x) =  lim(x->unendl.) f(x) = g = gl = gr

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