Lineare Algebra an der TU München

Karteikarten und Zusammenfassungen für Lineare Algebra im Informatik Studiengang an der TU München in Augsburg

CitySTADT: Augsburg

CountryLAND: Deutschland

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Was ist die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts?

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Spektrum(f)

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Homomorphismus/ Lineare Abbildung

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Was ist ein Eigenwert?
Was ist ein Eigenvektor?

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Wie bildet man
eine Abbildungsmatrix?

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Was ist eine Basis?

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Wann ist ein LGS lösbar?

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Diagonalisierbarkeit

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Was ist der Kern einer Abbildung?
f: V --> W

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injektiv

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Dimensionsarzt für Abbildung

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Was gilt für eine Abbildung f zwischen zwei Vektorräumen der gleichen Dimension?

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Lineare Algebra

Was ist die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts?

Dimension von dessen eigenraum

Lineare Algebra

Spektrum(f)

={x€K | f-x * idv. Nicht invertierbar}

Lineare Algebra

Homomorphismus/ Lineare Abbildung
  1. f( x + y) = f(x) + f(y) (Additivität)
  2. f(a*x) = a * f(x) (Homogenität)

Lineare Algebra

Was ist ein Eigenwert?
Was ist ein Eigenvektor?

f(v) = a * v    bzw.   A * v = a * v   (v€V, a€R)

v = Eigenvektor
a = Eigenwert

Lineare Algebra

Wie bildet man
eine Abbildungsmatrix?

Bilder der basisvektoren von B als Linearkombination von C. (B= {v1, … , vn} Basis von V, C ={w1, … , wm} Basis von W)

f (vi) = a1i * w1 + … + ami * wm   –>   a11 bis amn bilden die Matrix

Lineare Algebra

Was ist eine Basis?

minimales Erzeugendensystem

  1. Erzeugendensystem
  2. linear unabhängig

Lineare Algebra

Wann ist ein LGS lösbar?

wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist .
rk(A) = rk(A|b)

Lineare Algebra

Diagonalisierbarkeit

Ist eine Matrix diagonalisierbar, so ist die geometrische Vielfachheit ihrer Eigenwerte gleich der jeweiligen algebraischen Vielfachheit. Das bedeutet, die Dimension der einzelnen Eigenräume stimmt jeweils mit der algebraischen Vielfachheit der entsprechenden Eigenwerte im charakteristischen Polynom der Matrix überein

Lineare Algebra

Was ist der Kern einer Abbildung?
f: V --> W

Die Menge aller Vektoren eines Vektorraums V, die auf den Nullvektor des Zielraums abgebildet werde.
Kern(f) = {v € V | f(v) = 0}

Lineare Algebra

injektiv

f ist injektiv <=>
f(x1) = f(x2) => x1 = x2 <=> 
ker(f) = 0

Lineare Algebra

Dimensionsarzt für Abbildung

Dim(V) = RK(f) + dim(ker(f))= dim Bild + dim kern

Lineare Algebra

Was gilt für eine Abbildung f zwischen zwei Vektorräumen der gleichen Dimension?

f ist injektiv <=> f ist surjektiv

Gradient

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