Landesvermssung an der TU München | Karteikarten & Zusammenfassungen

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Welche Bedingungen müssen für die Elemente [E,F,G] und [𝐸̅, 𝐹̅, 𝐺̅] zur Beschreibung des differentiellen Streckenelementes gelten um eine Gauß’sche konforme Abbildung in UTM Koordinaten zu erhalten?

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𝐸 = 𝑚²𝐸̅;

𝐺 = 𝑚²𝐺̅

𝐹 = 0

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Was ist unter {N,E} in UTM zu verstehen? Wie unterscheiden sich GK- und UTM-Koordinaten?

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{N,E} Nordwert und Ostwert, ebene rechtwinklige Koordinaten aus einer konformen Abbildung des ETRS89 Ellipsoides. GK: Bessel Ellipsoid, 3 Grad Meridianstreifen, Hochwert H, Rechtswert R, Kennziffer 2,3,4 in Deutschland, Überlappungszone 1 Grad; Ordinatenwert + 500 km; m=1 UTM: WGS84/GRS80 Ellipsoid, 6 Grad Streifenbreite von 180 Grad W gezählt; Abszisse N, Ordinate E; Kennziffern: 32,33; Ordinatenwert + 500 km; m=0.9996

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Welche Reduktionen müssen an die Winkel angebracht werden um sie auf die Rechenfläche zu reduzieren (nur benennen)? Welche Information benötigen Sie hierzu jeweils?

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Reduktion vom Lot auf die Ellipsoidnormale – Lotabweichung werden benötigt; Reduktion wegen Höhe des Zielpunktes – Höhenunterschied Stand-Zielpunkt wird benötigt; Normalschnitt von Stand- und Zielpunkt auf die geodätische Linie – Azimut und Breite werden benötigt.

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Wie muss die gemessene Strecke reduziert werden?

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Schrägdistanz auf Sehne und dann Umrechnung in ellipsoidische Bogenlänge

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Konstruieren Sie aus {𝜆,z} isometrische Koordinaten. Hinweis: Führen Sie hierzu für die neuen Koordinaten {l,z} ein.

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Für isometrische Koordinaten muss gelten: E=G und F=0. Ersteres ist hier nicht der Fall. Es wird daher ein neuer Parameter, hier l genannt eingeführt, der die gleiche Metrik wie z hat. Ansatz: 𝑑𝑙 = √𝐸 √𝐺 𝑑𝜆 = 𝑅𝑑𝜆 → 𝑙 = ∫ 𝑅𝑑𝜆 = 𝑅∆𝜆 Alternativ: Es muss für isometrische Parameter gelten: 𝑑𝑠² = 𝑑𝑙² + 𝑑𝑧² . Ein Vergleich dieser Größe mit der aus den gegebenen Koordinaten 𝑑𝑠² = 𝑅²𝑑𝜆² + 𝑑𝑧² zeigt: 𝑑𝑙 = 𝑅𝑑𝜆, weiter wie oben. Eine weitere Alternative besteht darin z durch einen Isometrischen Parameter, etwa z‘ zu ersetzen. Vorgehen wie oben. Ergebnis ist dann 𝑧 ′ = ∆𝑧 𝑅

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Welche Rechenfläche wählen Sie für die Reduktion von GPS-Messelementen aus um die Konsistenz mit UTM zu erreichen?

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Ellipsoid grs80 bzw. wgs84

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Wie ist der Querpol definiert ?

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Schnittpunkt der Ordinatenlinien

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Beschreiben Sie den Rechenweg zur Transformation der Soldner-Rechenkoordinaten des Punktes P1 in sphärisch-geographische Koordinaten – in welchem Dreieck arbeiten Sie? Welche mathematischen Sätze kommen zum Einsatz?

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Die nötigen Berechnungen für diese Transformationen erfolgen über das rechtwinklige, sphärische Dreieck P1PfPN. 

Mit den Abkürzungen 𝑥̅̅1̅ = 𝑥1 𝑅 und 𝑦̅̅1̅ = 𝑦1 𝑅 folgt: 

Breite des Fußpunkts auf der Abszissenlinie 𝜑𝑓 = 𝜑0 + 𝑥̅̅1̅ Seitenkosinussatz: 𝑠𝑖𝑛𝜑1 = 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑓 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑦̅̅1̅ 

Winkelkosinussatz und Sinussatz: 𝑡𝑎𝑛(𝜆1 − 𝜆0 ) = 𝑡𝑎𝑛𝑦̅̅̅1̅ 𝑐𝑜𝑠𝜑�

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Die Gleichung für das differentielle Streckenelement lautet im Urbild

 𝑑𝑠² = 𝐸𝑑𝑢² + 2𝐹𝑑𝑢𝑑𝑣 + 𝐺𝑑𝑣²

 In der Abbildung wird hieraus

 𝑑𝑠̅ ² = 𝐸̅𝑑𝑢² + 2𝐹̅𝑑𝑢𝑑𝑣 + 𝐺̅𝑑𝑣²


Zeigen Sie mit Hilfe der Definitionsgleichung für Zylinderkoordinaten {𝜆,z} die Berechnung der Elemente E, F und G und geben Sie diese an. 

r⃗ = ( 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜆, 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜆 ,𝑧 )

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𝜕𝑟/ 𝜕𝜆 = ( −𝑅𝑠𝑖𝑛𝜆, 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜆, 0 )

𝜕𝑟/ 𝜕𝑧 = ( 0 ,0, 1 )

𝐸 = 𝜕𝑟/ 𝜕𝜆 ∙ 𝜕𝑟/ 𝜕𝜆 = 𝑅²  𝑠𝑖𝑛²𝜆 = 𝑅² 𝑐𝑜𝑠²𝜆 = 𝑅² 𝐹 = 𝜕𝑟 𝜕𝜆 ∙ 𝜕𝑟 𝜕𝑧 = 0

𝐺 = 𝜕𝑟/ 𝜕𝑧 ∙ 𝜕𝑟/ 𝜕𝑧 = 1

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Welche Transformationen können für die Umrechnung von GK in UTM Koordinaten angewendet werden? Welche Art von Koordinaten wird dabei jeweils transformiert?

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3D-Ähnlichkeitstransformation: X,Y,Z 3D kartesische Koordinaten Differentielle krummlinige Transformation: B,L Affintransformation: x,y

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Welche dieser Transformationen kommt in der Praxis zur Anwendung und welche Parameter werden dafür üblicherweise geschätzt? 

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Affintransformation: 2 Translationen, 2 Rotationen, 2 Maßstäbe

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Bei einer der Transformationen spielt die Höhe eine entscheidende Rolle. Welche ist das? Welche Information benötigen Sie zusätzlich um die Höhe zu erhalten?

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3D-Ähnlichkeitstransformation; Orthometrische Höhe über NN, Geoidhöhe über Bessel Ellipsoid (bzw. Geoid über wgs84 Ellipsoid, Offset nationales Höhensystem, Höhenunterschied der Äquipotentialflächen von Bessel und wgs84 Ellipsoid)

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Q:

Welche Bedingungen müssen für die Elemente [E,F,G] und [𝐸̅, 𝐹̅, 𝐺̅] zur Beschreibung des differentiellen Streckenelementes gelten um eine Gauß’sche konforme Abbildung in UTM Koordinaten zu erhalten?

A:

𝐸 = 𝑚²𝐸̅;

𝐺 = 𝑚²𝐺̅

𝐹 = 0

Q:

Was ist unter {N,E} in UTM zu verstehen? Wie unterscheiden sich GK- und UTM-Koordinaten?

A:

{N,E} Nordwert und Ostwert, ebene rechtwinklige Koordinaten aus einer konformen Abbildung des ETRS89 Ellipsoides. GK: Bessel Ellipsoid, 3 Grad Meridianstreifen, Hochwert H, Rechtswert R, Kennziffer 2,3,4 in Deutschland, Überlappungszone 1 Grad; Ordinatenwert + 500 km; m=1 UTM: WGS84/GRS80 Ellipsoid, 6 Grad Streifenbreite von 180 Grad W gezählt; Abszisse N, Ordinate E; Kennziffern: 32,33; Ordinatenwert + 500 km; m=0.9996

Q:

Welche Reduktionen müssen an die Winkel angebracht werden um sie auf die Rechenfläche zu reduzieren (nur benennen)? Welche Information benötigen Sie hierzu jeweils?

A:

Reduktion vom Lot auf die Ellipsoidnormale – Lotabweichung werden benötigt; Reduktion wegen Höhe des Zielpunktes – Höhenunterschied Stand-Zielpunkt wird benötigt; Normalschnitt von Stand- und Zielpunkt auf die geodätische Linie – Azimut und Breite werden benötigt.

Q:

Wie muss die gemessene Strecke reduziert werden?

A:

Schrägdistanz auf Sehne und dann Umrechnung in ellipsoidische Bogenlänge

Q:

Konstruieren Sie aus {𝜆,z} isometrische Koordinaten. Hinweis: Führen Sie hierzu für die neuen Koordinaten {l,z} ein.

A:

Für isometrische Koordinaten muss gelten: E=G und F=0. Ersteres ist hier nicht der Fall. Es wird daher ein neuer Parameter, hier l genannt eingeführt, der die gleiche Metrik wie z hat. Ansatz: 𝑑𝑙 = √𝐸 √𝐺 𝑑𝜆 = 𝑅𝑑𝜆 → 𝑙 = ∫ 𝑅𝑑𝜆 = 𝑅∆𝜆 Alternativ: Es muss für isometrische Parameter gelten: 𝑑𝑠² = 𝑑𝑙² + 𝑑𝑧² . Ein Vergleich dieser Größe mit der aus den gegebenen Koordinaten 𝑑𝑠² = 𝑅²𝑑𝜆² + 𝑑𝑧² zeigt: 𝑑𝑙 = 𝑅𝑑𝜆, weiter wie oben. Eine weitere Alternative besteht darin z durch einen Isometrischen Parameter, etwa z‘ zu ersetzen. Vorgehen wie oben. Ergebnis ist dann 𝑧 ′ = ∆𝑧 𝑅

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Q:

Welche Rechenfläche wählen Sie für die Reduktion von GPS-Messelementen aus um die Konsistenz mit UTM zu erreichen?

A:

Ellipsoid grs80 bzw. wgs84

Q:

Wie ist der Querpol definiert ?

A:

Schnittpunkt der Ordinatenlinien

Q:

Beschreiben Sie den Rechenweg zur Transformation der Soldner-Rechenkoordinaten des Punktes P1 in sphärisch-geographische Koordinaten – in welchem Dreieck arbeiten Sie? Welche mathematischen Sätze kommen zum Einsatz?

A:

Die nötigen Berechnungen für diese Transformationen erfolgen über das rechtwinklige, sphärische Dreieck P1PfPN. 

Mit den Abkürzungen 𝑥̅̅1̅ = 𝑥1 𝑅 und 𝑦̅̅1̅ = 𝑦1 𝑅 folgt: 

Breite des Fußpunkts auf der Abszissenlinie 𝜑𝑓 = 𝜑0 + 𝑥̅̅1̅ Seitenkosinussatz: 𝑠𝑖𝑛𝜑1 = 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑓 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑦̅̅1̅ 

Winkelkosinussatz und Sinussatz: 𝑡𝑎𝑛(𝜆1 − 𝜆0 ) = 𝑡𝑎𝑛𝑦̅̅̅1̅ 𝑐𝑜𝑠𝜑�

Q:

Die Gleichung für das differentielle Streckenelement lautet im Urbild

 𝑑𝑠² = 𝐸𝑑𝑢² + 2𝐹𝑑𝑢𝑑𝑣 + 𝐺𝑑𝑣²

 In der Abbildung wird hieraus

 𝑑𝑠̅ ² = 𝐸̅𝑑𝑢² + 2𝐹̅𝑑𝑢𝑑𝑣 + 𝐺̅𝑑𝑣²


Zeigen Sie mit Hilfe der Definitionsgleichung für Zylinderkoordinaten {𝜆,z} die Berechnung der Elemente E, F und G und geben Sie diese an. 

r⃗ = ( 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜆, 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜆 ,𝑧 )

A:

𝜕𝑟/ 𝜕𝜆 = ( −𝑅𝑠𝑖𝑛𝜆, 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜆, 0 )

𝜕𝑟/ 𝜕𝑧 = ( 0 ,0, 1 )

𝐸 = 𝜕𝑟/ 𝜕𝜆 ∙ 𝜕𝑟/ 𝜕𝜆 = 𝑅²  𝑠𝑖𝑛²𝜆 = 𝑅² 𝑐𝑜𝑠²𝜆 = 𝑅² 𝐹 = 𝜕𝑟 𝜕𝜆 ∙ 𝜕𝑟 𝜕𝑧 = 0

𝐺 = 𝜕𝑟/ 𝜕𝑧 ∙ 𝜕𝑟/ 𝜕𝑧 = 1

Q:

Welche Transformationen können für die Umrechnung von GK in UTM Koordinaten angewendet werden? Welche Art von Koordinaten wird dabei jeweils transformiert?

A:

3D-Ähnlichkeitstransformation: X,Y,Z 3D kartesische Koordinaten Differentielle krummlinige Transformation: B,L Affintransformation: x,y

Q:

Welche dieser Transformationen kommt in der Praxis zur Anwendung und welche Parameter werden dafür üblicherweise geschätzt? 

A:

Affintransformation: 2 Translationen, 2 Rotationen, 2 Maßstäbe

Q:

Bei einer der Transformationen spielt die Höhe eine entscheidende Rolle. Welche ist das? Welche Information benötigen Sie zusätzlich um die Höhe zu erhalten?

A:

3D-Ähnlichkeitstransformation; Orthometrische Höhe über NN, Geoidhöhe über Bessel Ellipsoid (bzw. Geoid über wgs84 Ellipsoid, Offset nationales Höhensystem, Höhenunterschied der Äquipotentialflächen von Bessel und wgs84 Ellipsoid)

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