Grundlagenprüfung an der TU München

Ein  Eigenraum zu einem Eigenwert ist der Unterraum des Körpers, der von allen Vektoren aufgespannt wird, die Eigenvektoren von A zu diesem Eigenwert sind

• Assoziativ- und Kommutativgesetzt für Addition und Multiplikation
• Neutrales und Inverses Element von Addition und Multiplikation
• Distributivgesetz a(b+c) = ab+bc
• Anordnungsaxiome:
  • entweder größer, gleich oder kleiner Null
  • Transitivität
  • Verträglichkeit mit Addition
  • Verträglichkeit mit Multiplikation
• Vollständigkeit: Jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge M von R besitzt eine kleinste obere Schranke

AKNID - OTVV - Vollständigkeit

Eine Folge ist eine Abbildung von N nach R, d.h. eine Vorschrift, die jeder natürlichen Zahl genau eine reele Zahl zuordnet

Eine Menge M heißt dicht in einer Menge A falls es zu jedem Element aus A eine Folge in M gibt, die gegen dieses Element konvergiert

Q ist dicht in R

|a+b| <= |a| + |b|

Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge

• polynome
• Verkettungen stetiger Funktionen
• Funktionen, die in einem Intervall stetig und streng monoton sind haben eine stetige Umkehrunktion
• Rationale Funktionen auf ihrem maximalen Definitionsbereich (Polynom durch anderes Polynom geteilt)
• Zwei stetige Funktionen kombiniert mit algebraischen Operationen (+, *)

Idee: 

1. Wähle eine Folge x_n in M, so dass f(x_n) gegen  das infimum der Bildmenge konvergiert, falls dieses existiert. (Falls nicht gegen -Unendlich)
2. Nutze Bolzano-Weierstrass um eine Konvergente Teilfolge dieser Folge zu bestimmen (M ist beschränkt, darum auch die Folge)
3. Wegen der Abgeschlossenheit von M liegt der Grenzwert dieser Folge in M
4. Da f stetig konvergiert auch f von der teilfolge gegen einen Grenzwert
5. Also kann f(x_n) nicht gegen -Unendlich konvergieren
6. Sie konvergiert also gegen das Infimum von f(M) also gegen dei Minimumsstelle

Für formalen Beweis siehe Ana1 Skript Seite 54

Sei f: A ->B

Dann könnte man sagen, dass f eine Teilmenge von A x B ist, falls es für jedes x aus A genau ein y aus B gibt mit (x,y) Element f

• Eine Menge A ist genau dann mächtiger (oder gleichmächtig) als eine Menge B wenn es eine Surjektion von A nach B oder eine Injektion von B nach A gibt
• Falls es eine Bijektion zwischen A und B gibt sind die Mengen gleichmächtig
• Es gilt Transitivität, reflexivität und Symmetrie
• Wichtige Aussagen:
  • N ~ Z ~ Q
  • N x N ~ N
  • R ~ Potenzmenge von N
  • R x R ~ R
  • Die Potenzmenge einer Menge A ist immer mächtiger als A selber

A heißt:

• endlich, falls es eine natürliche Zahl n gibt, so dass A und { 1,..,n} gleichmächtig sind
• abzählbar unendlich, falls A gleichmächtig zu N ist
• überabzählbar, falls A mächtiger als N

• Reflexivität: (x,x) Element R
• Symmetrie (x,y) e R => (y,x) e R
• Antisymmetrie: (x,y) und (y,x) e R => x = y
• Transitivität: (x,y) e R und (y, z) e R => (x,z) e R