Grundlagenprüfung an der TU München

Karteikarten und Zusammenfassungen für Grundlagenprüfung an der TU München

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Was ist ein Eigenraum einer Matrix A

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Axiome für Reelle Zahlen

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Definieren Sie eine Folge

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Definition: Dichtheit

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Dreiecksungleichung

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Satz 2.6: Bolzano-Weierstrass

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Welche Funktionen sind stetig?

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Beweisen Sie den Satz von Maximum und Minimum

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Wie kann man Funktionen als Teilmengen auffassen?

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Ansätze um Aussagen über die Mächtigkeit von Mengen zu treffen

Wann genau sind 2 Mengen gleichmächtig (mächtiger/weniger mächtig)?

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Definition: Menge A heißt:

  • endlich
  • abzählbar unendlich
  • überabzählbar

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Welche verschiedenen Eigenschaften kann eine Relation haben?

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Grundlagenprüfung

Was ist ein Eigenraum einer Matrix A

Ein  Eigenraum zu einem Eigenwert ist der Unterraum des Körpers, der von allen Vektoren aufgespannt wird, die Eigenvektoren von A zu diesem Eigenwert sind

Grundlagenprüfung

Axiome für Reelle Zahlen

  • Assoziativ- und Kommutativgesetzt für Addition und Multiplikation
  • Neutrales und Inverses Element von Addition und Multiplikation
  • Distributivgesetz a(b+c) = ab+bc
  • Anordnungsaxiome:
    • entweder größer, gleich oder kleiner Null
    • Transitivität
    • Verträglichkeit mit Addition
    • Verträglichkeit mit Multiplikation
  • Vollständigkeit: Jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge M von R besitzt eine kleinste obere Schranke


AKNID - OTVV - Vollständigkeit

Grundlagenprüfung

Definieren Sie eine Folge

Eine Folge ist eine Abbildung von N nach R, d.h. eine Vorschrift, die jeder natürlichen Zahl genau eine reele Zahl zuordnet

Grundlagenprüfung

Definition: Dichtheit

Eine Menge M heißt dicht in einer Menge A falls es zu jedem Element aus A eine Folge in M gibt, die gegen dieses Element konvergiert


Q ist dicht in R

Grundlagenprüfung

Dreiecksungleichung

|a+b| <= |a| + |b|

Grundlagenprüfung

Satz 2.6: Bolzano-Weierstrass

Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge

Grundlagenprüfung

Welche Funktionen sind stetig?

  • polynome
  • Verkettungen stetiger Funktionen
  • Funktionen, die in einem Intervall stetig und streng monoton sind haben eine stetige Umkehrunktion
  • Rationale Funktionen auf ihrem maximalen Definitionsbereich (Polynom durch anderes Polynom geteilt)
  • Zwei stetige Funktionen kombiniert mit algebraischen Operationen (+, *)

Grundlagenprüfung

Beweisen Sie den Satz von Maximum und Minimum

Idee: 

  1. Wähle eine Folge x_n in M, so dass f(x_n) gegen  das infimum der Bildmenge konvergiert, falls dieses existiert. (Falls nicht gegen -Unendlich)
  2. Nutze Bolzano-Weierstrass um eine Konvergente Teilfolge dieser Folge zu bestimmen (M ist beschränkt, darum auch die Folge)
  3. Wegen der Abgeschlossenheit von M liegt der Grenzwert dieser Folge in M
  4. Da f stetig konvergiert auch f von der teilfolge gegen einen Grenzwert
  5. Also kann f(x_n) nicht gegen -Unendlich konvergieren
  6. Sie konvergiert also gegen das Infimum von f(M) also gegen dei Minimumsstelle


Für formalen Beweis siehe Ana1 Skript Seite 54


Grundlagenprüfung

Wie kann man Funktionen als Teilmengen auffassen?

Sei f: A ->B

Dann könnte man sagen, dass f eine Teilmenge von A x B ist, falls es für jedes x aus A genau ein y aus B gibt mit (x,y) Element f

Grundlagenprüfung

Ansätze um Aussagen über die Mächtigkeit von Mengen zu treffen

Wann genau sind 2 Mengen gleichmächtig (mächtiger/weniger mächtig)?

  • Eine Menge A ist genau dann mächtiger (oder gleichmächtig) als eine Menge B wenn es eine Surjektion von A nach B oder eine Injektion von B nach A gibt
  • Falls es eine Bijektion zwischen A und B gibt sind die Mengen gleichmächtig
  • Es gilt Transitivität, reflexivität und Symmetrie
  • Wichtige Aussagen:
    • N ~ Z ~ Q
    • N x N ~ N
    • R ~ Potenzmenge von N
    • R x R ~ R
    • Die Potenzmenge einer Menge A ist immer mächtiger als A selber

Grundlagenprüfung

Definition: Menge A heißt:

  • endlich
  • abzählbar unendlich
  • überabzählbar

A heißt:

  • endlich, falls es eine natürliche Zahl n gibt, so dass A und { 1,..,n} gleichmächtig sind
  • abzählbar unendlich, falls A gleichmächtig zu N ist
  • überabzählbar, falls A mächtiger als N

Grundlagenprüfung

Welche verschiedenen Eigenschaften kann eine Relation haben?

  • Reflexivität: (x,x) Element R
  • Symmetrie (x,y) e R => (y,x) e R
  • Antisymmetrie: (x,y) und (y,x) e R => x = y
  • Transitivität: (x,y) e R und (y, z) e R => (x,z) e R

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