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Lernmaterialien für Grundlagenprüfung an der TU München

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TESTE DEIN WISSEN

Was ist ein Eigenraum einer Matrix A

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TESTE DEIN WISSEN

Ein  Eigenraum zu einem Eigenwert ist der Unterraum des Körpers, der von allen Vektoren aufgespannt wird, die Eigenvektoren von A zu diesem Eigenwert sind

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TESTE DEIN WISSEN

Was ist der Fundamentalsatz der Algebra?

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TESTE DEIN WISSEN

Der Körper der komplexen zahlen ist algebraisch abgeschlossen

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TESTE DEIN WISSEN

Nenne Alle Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre und erkläre was sie bedeuten

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TESTE DEIN WISSEN
  1. Extensionalitätsaxiom (Mengen mit gleichen Elementen sind gleich)
  2. Aussonderungsaxiom (Man kann aus einer Menge Elemente mit bestimmten Eigenschaften aussondern - Existenz einer Schnittmenge)
  3. Vereinigungsmengenaxiom (Existenz einer Vereinigungsmenge)
  4. Zweiermengenaxiom (Man kann aus zwei Elementen eine eindeutig bestimmte Menge bilden, die genau diese beiden Elemente enthält)
  5. Potenzmengenaxiom (Zu jeder Menge gibt es eine Menge der Teilmengen)
  6. Unendlichkeitsaxiom (Es gibt eine Induktiv definierte Menge)
  7. Auswahlaxiom (hat man eine Menge M mit nichtleeren, paarweise disjunkten Teilmengen, so kann man eine Menge A bilden, die jede Teilmenge von M in genau einem Element schneidet)
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TESTE DEIN WISSEN

Welche Eigenschaften haben Ordnungs-und Äquivalenzrelation?

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TESTE DEIN WISSEN

Äquivalenzrelation: Reflexivität, Symmetrie, Transitivität

Ordnungsrelation: Reflexivität, Antisymmetrie, Transitivität


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TESTE DEIN WISSEN

Definition: Isomorphismus

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TESTE DEIN WISSEN

Ein bijektiver Homomorphismus

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TESTE DEIN WISSEN

Satz 2.6: Bolzano-Weierstrass

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TESTE DEIN WISSEN

Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge

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TESTE DEIN WISSEN

Geben Sie die Folgende permutation in Tabellenschreibweise an (2,4,1) (3,5)

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TESTE DEIN WISSEN

(1,2,3,4,5)

(2,4,5,1,3)

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TESTE DEIN WISSEN

Welche Funktionen sind stetig?

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TESTE DEIN WISSEN
  • polynome
  • Verkettungen stetiger Funktionen
  • Funktionen, die in einem Intervall stetig und streng monoton sind haben eine stetige Umkehrunktion
  • Rationale Funktionen auf ihrem maximalen Definitionsbereich (Polynom durch anderes Polynom geteilt)
  • Zwei stetige Funktionen kombiniert mit algebraischen Operationen (+, *)
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TESTE DEIN WISSEN

Definieren Sie eine Folge

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TESTE DEIN WISSEN

Eine Folge ist eine Abbildung von N nach R, d.h. eine Vorschrift, die jeder natürlichen Zahl genau eine reele Zahl zuordnet

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TESTE DEIN WISSEN

Welche verschiedenen Eigenschaften kann eine Relation haben?

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TESTE DEIN WISSEN
  • Reflexivität: (x,x) Element R
  • Symmetrie (x,y) e R => (y,x) e R
  • Antisymmetrie: (x,y) und (y,x) e R => x = y
  • Transitivität: (x,y) e R und (y, z) e R => (x,z) e R
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Axiome für Reelle Zahlen

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TESTE DEIN WISSEN
  • Assoziativ- und Kommutativgesetzt für Addition und Multiplikation
  • Neutrales und Inverses Element von Addition und Multiplikation
  • Distributivgesetz a(b+c) = ab+bc
  • Anordnungsaxiome:
    • entweder größer, gleich oder kleiner Null
    • Transitivität
    • Verträglichkeit mit Addition
    • Verträglichkeit mit Multiplikation
  • Vollständigkeit: Jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge M von R besitzt eine kleinste obere Schranke


AKNID - OTVV - Vollständigkeit

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TESTE DEIN WISSEN

Zeigen sie, dass i * i = -1

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TESTE DEIN WISSEN

i = (0,1), aus der Multiplikationsregel folgt

i * i = (0-1,0+0) =(-1,0) = -1

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Q:

Was ist ein Eigenraum einer Matrix A

A:

Ein  Eigenraum zu einem Eigenwert ist der Unterraum des Körpers, der von allen Vektoren aufgespannt wird, die Eigenvektoren von A zu diesem Eigenwert sind

Q:

Was ist der Fundamentalsatz der Algebra?

A:

Der Körper der komplexen zahlen ist algebraisch abgeschlossen

Q:

Nenne Alle Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre und erkläre was sie bedeuten

A:
  1. Extensionalitätsaxiom (Mengen mit gleichen Elementen sind gleich)
  2. Aussonderungsaxiom (Man kann aus einer Menge Elemente mit bestimmten Eigenschaften aussondern - Existenz einer Schnittmenge)
  3. Vereinigungsmengenaxiom (Existenz einer Vereinigungsmenge)
  4. Zweiermengenaxiom (Man kann aus zwei Elementen eine eindeutig bestimmte Menge bilden, die genau diese beiden Elemente enthält)
  5. Potenzmengenaxiom (Zu jeder Menge gibt es eine Menge der Teilmengen)
  6. Unendlichkeitsaxiom (Es gibt eine Induktiv definierte Menge)
  7. Auswahlaxiom (hat man eine Menge M mit nichtleeren, paarweise disjunkten Teilmengen, so kann man eine Menge A bilden, die jede Teilmenge von M in genau einem Element schneidet)
Q:

Welche Eigenschaften haben Ordnungs-und Äquivalenzrelation?

A:

Äquivalenzrelation: Reflexivität, Symmetrie, Transitivität

Ordnungsrelation: Reflexivität, Antisymmetrie, Transitivität


Q:

Definition: Isomorphismus

A:

Ein bijektiver Homomorphismus

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Q:

Satz 2.6: Bolzano-Weierstrass

A:

Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge

Q:

Geben Sie die Folgende permutation in Tabellenschreibweise an (2,4,1) (3,5)

A:

(1,2,3,4,5)

(2,4,5,1,3)

Q:

Welche Funktionen sind stetig?

A:
  • polynome
  • Verkettungen stetiger Funktionen
  • Funktionen, die in einem Intervall stetig und streng monoton sind haben eine stetige Umkehrunktion
  • Rationale Funktionen auf ihrem maximalen Definitionsbereich (Polynom durch anderes Polynom geteilt)
  • Zwei stetige Funktionen kombiniert mit algebraischen Operationen (+, *)
Q:

Definieren Sie eine Folge

A:

Eine Folge ist eine Abbildung von N nach R, d.h. eine Vorschrift, die jeder natürlichen Zahl genau eine reele Zahl zuordnet

Q:

Welche verschiedenen Eigenschaften kann eine Relation haben?

A:
  • Reflexivität: (x,x) Element R
  • Symmetrie (x,y) e R => (y,x) e R
  • Antisymmetrie: (x,y) und (y,x) e R => x = y
  • Transitivität: (x,y) e R und (y, z) e R => (x,z) e R
Q:

Axiome für Reelle Zahlen

A:
  • Assoziativ- und Kommutativgesetzt für Addition und Multiplikation
  • Neutrales und Inverses Element von Addition und Multiplikation
  • Distributivgesetz a(b+c) = ab+bc
  • Anordnungsaxiome:
    • entweder größer, gleich oder kleiner Null
    • Transitivität
    • Verträglichkeit mit Addition
    • Verträglichkeit mit Multiplikation
  • Vollständigkeit: Jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge M von R besitzt eine kleinste obere Schranke


AKNID - OTVV - Vollständigkeit

Q:

Zeigen sie, dass i * i = -1

A:

i = (0,1), aus der Multiplikationsregel folgt

i * i = (0-1,0+0) =(-1,0) = -1

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