Discontinuous Galerkin Methods an der TU München

Karteikarten und Zusammenfassungen für Discontinuous Galerkin Methods im Maschinenwesen Studiengang an der TU München in Augsburg

CitySTADT: Augsburg

CountryLAND: Deutschland

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Welche Eigenschaften teilen DG und finite Volumen? Wo unterscheiden Sie sich?

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Welche Rolle kommt den Numerical Flux in einem DG-Schema zu?

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Was ist der Unterschied zwischen Upwind- und Central-Flux?

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Wie stehen Lax-Friedrichs-Flux und Upwind-Flux miteinander in Verbindung?

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Wie werden die Inflow- und Outflow-Randbedingungen gehandhabt?

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Warum ist explizite Zeitintegration bei DG-Methoden attraktiver als bei kontinuierlichen finiten Elementen?

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Warum basieren Higher-Order nodal Basis-Functions nicht auf einer gleichmäßigen Knotenverteilung?

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Erkläre die Begriffe "Nodal Basis" und "Modal Basis".

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Was lässt sich über die Konvergenzrate bezüglich der Mesh-Size h und dem Polynomgrad N bei linearen Advection-Problems sagen?

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Die Energie der DG-FEM ist generell eine Funktion, die mit der Zeit abnimmt. Welche Terme haben einen Beitrag zur Dissipation im Fall linearer Advection.

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Was ist aliasing? Gib zwei Beispiele für Diskretierungen, bei denen aliasing auftreten kann.

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Welche Eigenschaften teilen DG und FEM? In welchen Punkten unterscheiden sie sich?

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Discontinuous Galerkin Methods

Welche Eigenschaften teilen DG und finite Volumen? Wo unterscheiden Sie sich?
Gleich:
– Numerical Fluxes tauschen Informationen zwischen benachbarten Elementen aus
– Aufwind (gerichtete Information) durch passende Flux-Funktionen

Unterschiedlich:
– Fluxes werden nicht gemittelt, sondern kontinuierlich ausgewertet

Discontinuous Galerkin Methods

Welche Rolle kommt den Numerical Flux in einem DG-Schema zu?
– Der Numerical Flux verbindet die Probleme der Elemente, um anschließend die partielle Differentialgleichung global zu lösen.
– Er gibt gerichtete Informationen an benachbarte Elemente weiter

Discontinuous Galerkin Methods

Was ist der Unterschied zwischen Upwind- und Central-Flux?
Der Upwind-Flux gibt Informationen nur in Flussrichtung weiter. (Coupling of Element K to Element K + 1 but not vice versa) Der Central-Flux in beide Richtungen.

Discontinuous Galerkin Methods

Wie stehen Lax-Friedrichs-Flux und Upwind-Flux miteinander in Verbindung?
Bei konstanter Flussgeschwindigkeit über die Elementkante entspricht der Lax-Friedrich-Flux dem Upwind-Flux.

Discontinuous Galerkin Methods

Wie werden die Inflow- und Outflow-Randbedingungen gehandhabt?
Inflow wird vorgeschrieben. Outflow wird nicht vorgeschrieben (unphysikalisch). Bei Central-Flux wird für die Knoten am Ausflussrand Upwind-Flux vorgeschrieben.

Discontinuous Galerkin Methods

Warum ist explizite Zeitintegration bei DG-Methoden attraktiver als bei kontinuierlichen finiten Elementen?
Die Massenmatrix ist blockdiagonal und somit einfacher zu invertieren.

Discontinuous Galerkin Methods

Warum basieren Higher-Order nodal Basis-Functions nicht auf einer gleichmäßigen Knotenverteilung?
– Knoten nach Gauss-Quadratur weisen starke oszillationen am Rand des zu interpolierenden Gebiets auf
– Die Gauss-Lobatto-Polynomfunktionen erreichen ihr Maximum (+1) immer im entsprechenden Knoten und weisen nur geringfügige Oszillationen auf

Discontinuous Galerkin Methods

Erkläre die Begriffe "Nodal Basis" und "Modal Basis".
Nodal Basis:
– An einem Knoten sind alle Basis-Funktionen bis auf eine gleich 0 (diese =1)
– Sie interpolieren die Knotenwerte

Modal Basis:
– Repräsentation der Lösung in Form von Funtionen verschiedenen Grads (Moden)
– Möglich, dass die Massen-Matrix Diagonalgestalt bekommt
– Wird z.B. für Filter benutzt.

Discontinuous Galerkin Methods

Was lässt sich über die Konvergenzrate bezüglich der Mesh-Size h und dem Polynomgrad N bei linearen Advection-Problems sagen?
h-refinement: Konvergenz der Ordnung N + 1

p-refinement: exponentielle Konvergenz bei sehr glatten Funktionen

Discontinuous Galerkin Methods

Die Energie der DG-FEM ist generell eine Funktion, die mit der Zeit abnimmt. Welche Terme haben einen Beitrag zur Dissipation im Fall linearer Advection.
Die Energie verringert sich um die Menge, die am Ausflussrand ausfließt.

Bei Upwind-Flux haben zudem die Sprünge einen negativen Eintrag auf die Energieänderung.

Discontinuous Galerkin Methods

Was ist aliasing? Gib zwei Beispiele für Diskretierungen, bei denen aliasing auftreten kann.
Aliasing ist der Fehler durch Interpolation und die damit verbundene Instabilität.

1) Polynomgrad von (f(u), dl/dx) ist zu hoch für die Anzahl der gewählten Gausspunkte

2) f(u) ist keine Polynomfunktion

Discontinuous Galerkin Methods

Welche Eigenschaften teilen DG und FEM? In welchen Punkten unterscheiden sie sich?
Gleich:
– Gleiche geom. Flexibilität (feiner Meshes in Grenzschichten)
– einfach Implementierung von Elementen höherer Ordnung
– die Lösungsfunktion muss innerhalb der Elemente kontinuierlich sein

Unterschiedlich:
– die Lösungsfunktion kann über die Elementränder Sprünge aufweisen
– mehr DOFs als FEM
– Massenmatrix ist Blockdiagonal und kann leichter invertiert werden

Gradient

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