Discontinuous Galerkin Methods an der TU München

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Beispielhafte Karteikarten für Discontinuous Galerkin Methods an der TU München auf StudySmarter:

Vergleiche die Matrix Eigenschaften von LDG und Central-Flux.

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Warum wählt man Werte für Tau, bei denen die Konditionszahl der Matrix moderat bleibt?

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Erkläre den zusätzlichen Stabilisierungsterm (penalty), der bei central-flux und LDG bei elliptischen Problemen notwendig wird.

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Diskutiere die Konvergenzraten von (unstabilized) central flux und LDG

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Warum transformiert man die Wärmeleitungsgleichung in ein System erster Ordnung?

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Erkläre das Vorgehen zur Berechnung von Rand-Integralen auf Meshes mit hanging-nodes. Welche Modifikationen sind zum üblichen Fall vorzunehmen?

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In welchem Fall ist die tensoriale Evaluation von größerem Nutzen? Für N=1 oder N=4?

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DG-FEM Methoden für Quadrilaterale sind meistens mit Quadratur impelemtiert, wogegen DG-FEM für Dreiecke und Thetraeder meist pre-computed Matritzen auf dem Referenzelement und ausfaktorisierte Koeffizienten und Geometrien nutzen. Wo liet der Grund dafür?

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Wie sind die Knoten auf Dreiecken verteilt?

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DG-FEM auf Quadrilateralen basiert normalerweise auf Tensor-Product Shape Functions. Wie sind die Knoten verteilt?

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Vergleiche die lokale Schreibweise von 1D DG-FEM mit der in höheren Dimensionen.

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Dirskutiere die Größe des Penalty-Parameters tau für die IP-Methode und vergleiche mit central- und LDG-flux.

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Beispielhafte Karteikarten für Discontinuous Galerkin Methods an der TU München auf StudySmarter:

Discontinuous Galerkin Methods

Vergleiche die Matrix Eigenschaften von LDG und Central-Flux.
1) Konditionierung bei central flux ist besser

2) LDG ergiebt eine dünner besetzte Matrix

Discontinuous Galerkin Methods

Warum wählt man Werte für Tau, bei denen die Konditionszahl der Matrix moderat bleibt?
Die Geschwindigkeit vieler Iterativer Löser hängt von der Konditionszahl ab.

Discontinuous Galerkin Methods

Erkläre den zusätzlichen Stabilisierungsterm (penalty), der bei central-flux und LDG bei elliptischen Problemen notwendig wird.
Bei elliptischen Problemen existieren null-Eigenwert-Moden. Diese werden durch den Penalty-Term bestraft.

Discontinuous Galerkin Methods

Diskutiere die Konvergenzraten von (unstabilized) central flux und LDG
1) central: even O(h^(N+1))
uneven(h^N)

2) LDG: O(h^(N+1)) for periodic BC
O(h^N) for Dirichlet BC

Discontinuous Galerkin Methods

Warum transformiert man die Wärmeleitungsgleichung in ein System erster Ordnung?
Um bekannte Diskretisierungsmethoden von DGLn 1. Ordnung verwenden zu können.

Discontinuous Galerkin Methods

Erkläre das Vorgehen zur Berechnung von Rand-Integralen auf Meshes mit hanging-nodes. Welche Modifikationen sind zum üblichen Fall vorzunehmen?
1) Berechne Randintegrale zwische elementen verschiedener Refinement-Levels nachdem den auf gleichen Levels.

2) Berechne die Randintegrale von [-1, 0] (l) und von [0, 1] (r)

Discontinuous Galerkin Methods

In welchem Fall ist die tensoriale Evaluation von größerem Nutzen? Für N=1 oder N=4?
N1 N4

Naive 2D: 2(N+1)^4 32 1250

Tensor 2D: 4(N+1)^3 32 500

Discontinuous Galerkin Methods

DG-FEM Methoden für Quadrilaterale sind meistens mit Quadratur impelemtiert, wogegen DG-FEM für Dreiecke und Thetraeder meist pre-computed Matritzen auf dem Referenzelement und ausfaktorisierte Koeffizienten und Geometrien nutzen. Wo liet der Grund dafür?
Es ist nicht möglich, analytische Ausdrücke für Dreiecke in Abhängigkeit der Lagrange-Interpolation zu geben.

Discontinuous Galerkin Methods

Wie sind die Knoten auf Dreiecken verteilt?
1) quadrature Formulas (Fekete Points)

2) blend-and-warp

Discontinuous Galerkin Methods

DG-FEM auf Quadrilateralen basiert normalerweise auf Tensor-Product Shape Functions. Wie sind die Knoten verteilt?
1D Gauss-Lobatto Punkte in beide Koordinatenrichtungen.

Discontinuous Galerkin Methods

Vergleiche die lokale Schreibweise von 1D DG-FEM mit der in höheren Dimensionen.
Der Ausdruck ist analog zu 1D. Differentialoperatorn werden zu Gradient/Divergenz- operator, …

Discontinuous Galerkin Methods

Dirskutiere die Größe des Penalty-Parameters tau für die IP-Methode und vergleiche mit central- und LDG-flux.
tau hat bei IP eine hohe untere Schranke auf Grund von stabilitätsanfordrungen. IP gibt aber die besten ergebnisse für kleien Werte tau, daher wird dieser immer nah am untern limit gewählt.

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