Numerische Lineare Algebra an der TU Darmstadt | Karteikarten & Zusammenfassungen

Lernmaterialien für Numerische Lineare Algebra an der TU Darmstadt

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TESTE DEIN WISSEN

Was gilt für die Adjatenzmatrix und das Spektrum eines ungerichteten Graphen?

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TESTE DEIN WISSEN

Sie ist symmetrisch und das Spektrum ist reell

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TESTE DEIN WISSEN

Eine Vorraussetzung der direkten Vektoriteration ist die Symmetrie der Matrix A, kann jedoch auch eine Konvrgenz ohne Symmetrie erzielt werden?

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TESTE DEIN WISSEN

Ja, sobald zu der Matrix n linear unabhängige Eigenvektoren existieren, die dann somit eine Basis (orthogonal) aufspannen

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TESTE DEIN WISSEN

Welche Eigenschaften erfüllt ein k-regulärer Graph?

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TESTE DEIN WISSEN

Jeder Knoten des Graphen hat genau k-Nachbarn (bei jedem Knoten gleiche Anzahl)

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TESTE DEIN WISSEN

Sind Eigenvektoren eindeutig bestimmbar?

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TESTE DEIN WISSEN

Nein, jede Skalierung eines Eigenvektors und auch jede Linearkombination ist wiederum Eigenvektor zu gegebener Matrix (o.B.d.A.)

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TESTE DEIN WISSEN

Was gilt für die Matrix A beim symmetrischen Eigenwertproblem?

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TESTE DEIN WISSEN

A ist reell und symmetrisch

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Was muss für den Fall der Existenz einer Orthonormalbasis (ONB) zu A gelten?

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A muss quadratisch und symmetrisch sein

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Was gilt für Eigenwerte im Bezug auf Gershgorin-Kreise?

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Alle Eigenwerte liegen in der Vereinigung aller Gershgorin-Kreise. Bilden zusätzlich k Gershgorinkreise eine einfach zusammenhängende Punktemenge (schneiden sich), enthält diesee Mengenvereinigung k Eigenwerte

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Was gilt für reelle Matrizen A?

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TESTE DEIN WISSEN

Die Eigenwerte der transponierten Matrix zu A sind die gleichen wie die von A und die Eigenwerte von A liegen in der Vereinigung der Gershgorinkreise zu beiden Matrizen

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TESTE DEIN WISSEN

Was sagt die Kondition eines Problems aus?

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TESTE DEIN WISSEN

Wie stark eine Störung in den Eingangsdaten sich auf die Lösung des Problems auswirkt

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TESTE DEIN WISSEN

Was gilt allgemein für die Kondition von einer Koeffizientbestimmung?

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TESTE DEIN WISSEN

Ist schlecht konditioniert. Es gilt die Lösung eines charakteristischen Polynoms zu vermeiden. Der Grund liegt in den Rundungsfehlern.

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Was vereinfacht sich im Bezug auf das Eigenwertproblem für den Fall einer symmetrischen Matrix A?

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Die Eigenwerte sind dann reell und die Eigenvektoren können ebenfalls reell gewählt werden. Des Weiteren sind EV zu verschiedenen EW orthogonal zueinander und zu jedem EW der Vielfachheit m gehören m linear unabhängige EV

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TESTE DEIN WISSEN

Was kann mit der inversen Vektoriteration bestimmt werden?

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TESTE DEIN WISSEN

Unter der Annahme, dass eine Näherung für den Eigenwert existiert, kann ein Eigenwert gezielt berechnet werden (Wahl der Näherung bspw. durch Gershgorinkreise möglich)

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Q:

Was gilt für die Adjatenzmatrix und das Spektrum eines ungerichteten Graphen?

A:

Sie ist symmetrisch und das Spektrum ist reell

Q:

Eine Vorraussetzung der direkten Vektoriteration ist die Symmetrie der Matrix A, kann jedoch auch eine Konvrgenz ohne Symmetrie erzielt werden?

A:

Ja, sobald zu der Matrix n linear unabhängige Eigenvektoren existieren, die dann somit eine Basis (orthogonal) aufspannen

Q:

Welche Eigenschaften erfüllt ein k-regulärer Graph?

A:

Jeder Knoten des Graphen hat genau k-Nachbarn (bei jedem Knoten gleiche Anzahl)

Q:

Sind Eigenvektoren eindeutig bestimmbar?

A:

Nein, jede Skalierung eines Eigenvektors und auch jede Linearkombination ist wiederum Eigenvektor zu gegebener Matrix (o.B.d.A.)

Q:

Was gilt für die Matrix A beim symmetrischen Eigenwertproblem?

A:

A ist reell und symmetrisch

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Q:

Was muss für den Fall der Existenz einer Orthonormalbasis (ONB) zu A gelten?

A:

A muss quadratisch und symmetrisch sein

Q:

Was gilt für Eigenwerte im Bezug auf Gershgorin-Kreise?

A:

Alle Eigenwerte liegen in der Vereinigung aller Gershgorin-Kreise. Bilden zusätzlich k Gershgorinkreise eine einfach zusammenhängende Punktemenge (schneiden sich), enthält diesee Mengenvereinigung k Eigenwerte

Q:

Was gilt für reelle Matrizen A?

A:

Die Eigenwerte der transponierten Matrix zu A sind die gleichen wie die von A und die Eigenwerte von A liegen in der Vereinigung der Gershgorinkreise zu beiden Matrizen

Q:

Was sagt die Kondition eines Problems aus?

A:

Wie stark eine Störung in den Eingangsdaten sich auf die Lösung des Problems auswirkt

Q:

Was gilt allgemein für die Kondition von einer Koeffizientbestimmung?

A:

Ist schlecht konditioniert. Es gilt die Lösung eines charakteristischen Polynoms zu vermeiden. Der Grund liegt in den Rundungsfehlern.

Q:

Was vereinfacht sich im Bezug auf das Eigenwertproblem für den Fall einer symmetrischen Matrix A?

A:

Die Eigenwerte sind dann reell und die Eigenvektoren können ebenfalls reell gewählt werden. Des Weiteren sind EV zu verschiedenen EW orthogonal zueinander und zu jedem EW der Vielfachheit m gehören m linear unabhängige EV

Q:

Was kann mit der inversen Vektoriteration bestimmt werden?

A:

Unter der Annahme, dass eine Näherung für den Eigenwert existiert, kann ein Eigenwert gezielt berechnet werden (Wahl der Näherung bspw. durch Gershgorinkreise möglich)

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